Derivata och implikation

Om det handlar om att kolla deriverbarhet i en viss punkt, kan du kolla på följande för att se hur det kan skilja. 

 $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}{x}^2 + 1, x ⩾ 1\\ -x^2 + 4x - 1, x <1 \end{array}\right.$

Då har du ett tydligt exempel på att det har en kontinuerlig förstaderivata, då höger- och vänsterderivatan är lika med varandra. Kolla genom derivatans definition med höger- och vänstergränsvärde.

Däremot kommer den ej ha en kontinuerlig andraderivata och därmed sakna värde i x=1.

Hej!

Du vill undersöka påståendet

    "Om funktionen f är deriverbar i punkten x så är derivatan f' deriverbar i punkten x."

Om du kan finna en punkt $f$ och en punkt $x = a$ sådana att $f$ är deriverbar i $x = a$ och $f'$ är inte deriverbar i $x = a$ så har du funnit ett motexempel till påståendet ovan. Detta betyder isåfall att påståendet är falskt.

Ett exempel på en funktion som är icke-deriverbar i en punkt är funktionen $g(x) = |x|$ som är icke-deriverbar i  $x = 0.$ Låt $G$ vara en primitiv funktion till denna funktion. Funktionen $G$ är deriverbar i $x = 0$ men derivatan $G'$ (som ju är lika med $g$) är inte deriverbar i $x =0.$

Albiki