Derivatans definition

Båda är egentligen identiska. Jag skulle säga att det är en smaksak. Om du, i det andra gränsvärdet tänker dig att $x = a+h$ ändras gränsvärdet om till

$\displaystyle \lim_{x\to a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim_{a+h \to a}{\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}} = \lim_{a+h \to a}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

Att $a+h \to a$ är densamma som att $h \to 0$. Nu har vi fått fram det vänstra gränsvärdet

$\displaystyle\lim_{h \to 0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

Den första definitionen passar bättre om man ska härleda deriveringsregler och enkla derivator.

$(x^2)^' =\lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}} =\lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}} =\lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{2xh + h^2}{h}} =\lim_{h \rightarrow 0}{2x} + \lim_{h \rightarrow 0}{h} = 2x$.