4 svar
70 visningar
Louiger är nöjd med hjälpen!
Louiger 98
Postad: 4 jun 2019

Derivator

Fråga i boken:

Bestäm för alla värden på talet a antalet skilda lösningar till ekv e^(2x)-e^x=a

 

Jag har svårt att förstå uppgiften generellt kanske pga min dyslexi, jag fattar inte vad de vill jag ska ta reda på. 

Jag provade räkna ut nollställena och ta reda på asymptoter för att kunna rita. När jag jämför det jag fått fram påminner det en del om facit men till skillnad från facit (y=a) får jag (y=-a) och jag misstänker att jag gjort något fel vid uträkning av ev asymptot då x->-inf. Har någon möjlighet att kolla på detta? Jag bifogar bild på min lösning och facit. Jag har inte ritat än då jag inte blev klok på y=-a

 

Frågan är i princip "Hur många unika lösningar har ekvationen e2x-ex=a? Beräkna antalet för varje tal a.". 

Varför använder du dig av asymptoter? Jag förstår inte riktigt motivet till det. Istället för att derivera, genomför substitutionen t=ext=e^x direkt istället, så att du får:

t2-t-a=0

Denna ekvation kan du dra igenom PQ-formeln, så att du får t=12±1+4a2. Du kan då substituera tillbaka och få:

ex=1±1+4a2.

Härifrån kan du läsa av hur många lösningar som finns för varje värde på a. :)

Louiger 98
Postad: 5 jun 2019
Smutstvätt skrev:

Frågan är i princip "Hur många unika lösningar har ekvationen e2x-ex=a? Beräkna antalet för varje tal a.". 

Varför använder du dig av asymptoter? Jag förstår inte riktigt motivet till det. Istället för att derivera, genomför substitutionen t=ext=e^x direkt istället, så att du får:

t2-t-a=0

Denna ekvation kan du dra igenom PQ-formeln, så att du får t=12±1+4a2. Du kan då substituera tillbaka och få:

ex=1±1+4a2.

Härifrån kan du läsa av hur många lösningar som finns för varje värde på a. :)

Jag gjorde så från början men visste inte hur jag skulle kunna läsa ut antalet lösningar från e^x=(1±sqrt(1+4a)/)2. 

Anledningen till asymptoter är för att kunna rita hur kurvan ser ut och på så sett enklare se och "läsa ut" lösningarna. Förstår inte vad jag gör för fel med m-värdet då x->-inf?!

Albiki 3912
Postad: 5 jun 2019

Hej!

Du har kommit fram till att funktionen f(x)=(ex)2-ex-af(x)=(e^{x})^2-e^x-a har ett globalt minimum då x=-ln2x=-\ln 2. Detta minsta värde är lika med

    f(-ln2)=14-12-a=-(14+a).f(-\ln 2) = \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-a= -(\frac{1}{4}+a).

Det betyder att för alla tal xx gäller det att f(x)-(a+0.25).f(x) \geq -(a+0.25).

Du är intresserad av om det finns något x som är sådant att f(x)=0f(x) = 0.

  • Om a=-0.25a=-0.25 så finns det precis ett sådant xx, nämligen x=-ln2x = -\ln 2.
  • Om  a<-0.25a< -0.25 så är f(x)>0f(x) > 0 för alla xx.

Detta visar att det intressanta fallet att undersöka är när a>-0.25a>-0.25 ...

Louiger 98
Postad: 8 jun 2019

Tack för hjälp! Tillsist fattade jag 

Svara Avbryt
Close