Derivera

K.Ivanovitj skrev :

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med att derivera följande:

Derivera uttrycket $\ln \frac{\left|x\right|}{\sqrt{1+x^2}}$

Hur ska man göra här då vi har tre olika uttryck.

Ska man här använda sig av $\frac{f´\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g´\left(x\right)}{g{\left(x\right)}^2}$

Vi har ju att derivatan av $\frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ så ska man då i detta fall få att g´(x)= $-\frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^{3/2}}$

Kedjeregeln kombinerat med derivatan av en kvot.

Den "inre derivatan" är ju derivatan av kvoten. 

Så här: Derivatan av $ln(f(x))=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)$

I detta fallet har du att $f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{\sqrt{1+x^2}}$ så då kan du använda formeln för derivatan av en kvot för att beräkna $f'(x)$

men blir det inte då f¨(x)=$-\frac{2x}{2{\left(1+x^2\right)}^{3/2}}=-\frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^{3/2}}$

K.Ivanovitj skrev :

men blir det inte då f¨(x)=$-\frac{2x}{2{\left(1+x^2\right)}^{3/2}}=-\frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^{3/2}}$

Nej det måste bli två termer.

Visa hur du räknar så kan vi hjälpa dig att hitta felet.

jag tog derivatan av $1+x^2=2x$ till täljaren och sedan fick jag av formeln $\frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ och får då $-\frac{2x}{2{\left(1+x^2\right)}^{3/2}}$ och eliminerar tvåorna $-\frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^{3/2}}$

Hej!

Den sammansatta funktionen är definierad för alla reella tal $x$, utom för $x=0$; eftersom $\ln 0$ är odefinierat.

Kedjeregeln ger att derivatan till funktionen $\ln f(x)$ är lika med funktionen $\frac{f'(x)}{f(x)}$, där

    $f(x) = \frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}\ .$

Kvotregeln ger att derivatan till funktionen $f$ är lika med funktionen

    $f'(x) = \frac{\text{sign}(x)\sqrt{1+x^2}-2|x|x/\sqrt{1+x^2})}{1+x^2}$

som du kan skriva

    $\frac{\text{sign}(x)}{|x|}f(x) - 2|x|x\cdot(\frac{f(x)}{|x|})^3 = \frac{f(x)}{x} - 2\frac{1}{x}f(x)^3 = \frac{f(x)}{x}(1-2f(x)^2)\ .$

Detta sätt att skriva derivatan $f'(x)$ gör det enkelt att skriva upp derivatan till $\ln f(x)\ .$ 

    $(\ln f(x))' = \frac{1}{x}(1-2f(x)^2) = \frac{1}{x}\cdot \frac{1-x^2}{1+x^2}\ ,\quad x\neq 0\ .$

Albiki