Derivera

Här har jag gissat någonting för att visa något.

Tänk såhär:

Produktregeln säger att derivatan till $f(x)\cdot g(x)$ är

$\displaystyle f^\prime\left(x\right)\cdot g\left(x\right) + f\left(x\right)\cdot g^\prime\left(x\right)$

Jag antar att du är osäker på hur man kan göra nu när det är tre "olika" funktioner? Men det är faktiskt ingen skillnad!

Vi kan tänka oss att $2x \cdot \sin x$ är den första funktionen och $e^{2x}$ är den andra funktionen. 
Alltså:

$\displaystyle f(x) = 2x\cdot \sin x$
$\displaystyle g\left(x\right) = e^{2x}$

Kan du fortsätta härifrån?

Det var så jag försökte tänka, men det skulle kunna vara f(x) × h'(x) × g'(x) eller f'(x) × h(x) × g(x) sedan upprepat så varje funktion får gå igenom en cykel.

Och jag vet inte. Testar.

Nej, jag kan inte. Med den logiken kan jag inte se något annat än att det bara ska vara 2 steg, men det är 3 i facit.

Dkcre skrev:

men det skulle kunna vara f(x) × h'(x) × g'(x) eller f'(x) × h(x) × g(x) sedan upprepat så varje funktion får gå igenom en cykel.

Jag är lite förvirrad vad du menar. Vad menar du med "det skulle kunna vara ..."? Alltså vad derivatan är?

Jag menar sammanfattat bara att jag inte vet hur man gör. Och kan inte resonera mig till hur man gör heller.

AlexMu skrev:
Alltså:

$\displaystyle f(x) = 2x\cdot \sin x$
$\displaystyle g\left(x\right) = e^{2x}$

Om vi fortsätter från denna ide har vi från produktregeln att derivatan av $2x\cdot \sin x\cdot e^{2x} = f(x)\cdot g(x)$ är

$f^\prime(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^\prime(x)$

Vi vet vad $f(x)$ och $g(x)$ är.

Om du hittar 
$f^\prime(x)$ och $g^\prime(x)$ kan du substituera in det i uttrycket ovan.

Produktregeln berättar vad derivatan av produkten av vilka två funktioner som helst är (så länge som de är deriverbara förstås). $f(x) = 2x\cdot \sin x$ är någon funktion, $g(x)=e^{2x}$ är en annan. Så vi kan använda produktregeln på dem. 

Är du med på idén?

Ja. Men det är ju svårare än så.

Eller f'(x) är: 2sinx + 2xcosx

G'(x) är 2e^2x

Dkcre skrev:

Ja. Men det är ju svårare än så.

Eller f'(x) är: 2sinx + 2xcosx

G'(x) är 2e^2x

Ja precis. Du har nu derivatorna som du nu kan substituera in! Det borde ge samma svar som i facit, kanske efter lite förenkling

2sinx + 2xcosx × e^2x + 2e^x ×2x× sinx

Får inte till det tror jag. Eller är det rätt kanske.

Dkcre skrev:

2sinx + 2xcosx × e^2x + 2e^x ×2x× sinx

Den första termen bör nog ha en faktor av $e^{2x}$. Annars ser det korrekt ut tror jag. 

Hur kan det bli så 

Eller nej glöm det, jag fattar.

(2sinx +2xcosx) E^2x = e^2x2sinx + e^2x2xcosx

Väldigt stökigt då men

Dkcre skrev:

Väldigt stökigt då men

Derivator kan bli rätt stökiga när man har flera termer såhär! Ett litet uttryck kan bli gigantiskt! Ett exempel jag hittade på nu:

Hade jag kunnat gjort f(x) = sinx × e^2x istället också? Det borde bli lika va?

Dkcre skrev:

Hade jag kunnat gjort f(x) = sinx × e^2x istället också? Det borde bli lika va?

Ja, vilken kombination som helst bör ge samma svar.

Dkcre skrev:

Hade jag kunnat gjort f(x) = sinx × e^2x istället också? Det borde bli lika va?

Det följer ett enkelt mönster

Okej, Tack.

Om man då hade sex olika funktioner i samma, skulle man då ha delat upp det i två funktioner och gjort 3 olika uträkningar för derivator på sidan av först?

Dkcre skrev:

Okej, Tack.

Om man då hade sex olika funktioner i samma, skulle man då ha delat upp det i två funktioner och gjort 3 olika uträkningar för derivator på sidan av först?

Ja, det kan man göra. Man kan hitta en generell formel för en produkt av $n$ funktioner om man vill (med induktion). Det följer nog samma mönster som Trinity2 tog fram. 

Okej 🙂 tack