Derivering av ekvation med naturliga logaritmer

Hej och välkommen hit.

Man kan skriva exponentiell avklingning som $e^{-k·t}$ (vanligast) eller som ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{k·t}$ eller ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$ om man är mer intresserad av halveringstider. I de bägge sista formlerna använder jag T för halveringstiden, och k blir då 1/T.

Derivering blir ju lättast om man har basen e. Med basen 1/2 blir det just de formler du har markerat.

Dit kommer man enklast om man skriver (1/2) som $e^{\ln (0.5)}$ eller samma sak $e^{-\ln \left(2\right)}$

Hej,

Tack för välkomnandet och det snabba svaret! :)

Nu förstår jag hur deriveringen går till, dock väcktes nu en ytterligare fråga om lösningen: Varför "försvinner" minustecknet?

När A sätts lika med uttrycket så är minustecknet borta, vad är orsaken till detta? Är det helt enkelt att Aktiviteten inte kan vara negativ, och därför tas det bort? 

Tack igen!

Derivatan är ökningen av antalet kärnor.

Aktiviteten är minskningen av antalet kärnor.

Hur kan derivatan vara ökningen om derivatan är negativ? Ledsen att jag inte förstår din förklaring. 

Som jag tänker är följande: Derivatan = Aktiviteten, dvs hastigheten av antalet sönderfall. Eftersom aktiviteten minskar med tiden, så kan väl inte derivatan vara ökningen? Har jag fått det om bakfoten? 

Tack! 

Antalet kärnor är N och är en funktion av tiden, N(t).

Ändringen av antalet kärnor är tidsderivatan av N(t), alltså N'(t). När antalet kärnor ökar med tiden är N'(t) större än noll och när antalet kärnor minskar med tiden är N'(t) mindre än noll. 

Aktiviteten är ett mått på hur många kärnor per tidsenhet som sönderfaller. När aktiviteten är stor är det många kärnor som sönderfaller.

Men efter ett sönderfall finns inte kärnan mer utan har ombildats till något annat. Ett stort (positivt) värde på aktiviteten betyder att N(t) minskar, alltså att N'(t) är negativ. 

Tror jag förstår nu, tack för all hjälp! :)