Derivering av en log-funktion

Hej! Jag håller på plugga på gamla tentor och har fastnat på en gammal tenta:

Log-funktionen: $\log (θ) = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{- 1}{2} \log (2 {πy}_{i}^{3})) - \sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i}}{2 θ^{2}} + \frac{n}{θ} - \sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{2 y_{i}})$

Derivatan av det här ska enligt facit bli: $\frac{d \log (θ)}{\partial (θ)} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i}}{2} (- \frac{2}{θ^{3}}) - \frac{n}{θ^{2}}$ .

Jag fattar inte hur $\sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i}}{2} (- \frac{2}{θ^{3}})$ den här biten blir till. Jag tänker mig att $\sum_{i = 1}^{n} (\frac{- 1}{2} \log (2 {πy}_{i}^{3}))$ försvinner för att det inte innehåller $θ$ , men sen fattar jag inte hur det kan bli gånger $(- \frac{2}{θ^{3}})$ ?

Är det någon som skulle kunna förklara hur det blir så?

Precis, 2 av summorna försvinner eftersom de inte har något $θ$ beroende. För den summan som blir kvar:

$\frac{\partial \log θ}{\partial θ} = \frac{\partial}{\partial θ} (\underset{i}{(- \sum \frac{y_{i}}{2 θ^{2}}}) + \frac{n}{θ}) = - \sum_{i} y_{i} \cdot \frac{\partial}{\partial θ} (\frac{1}{2 θ^{2}}) - \frac{n}{θ^{2}}$ . Kan du beräkna $\frac{\partial}{\partial θ} (\frac{1}{2 θ^{2}})$ ?

Det borde dock inte vara något "-" tecken, de borde ta ut varandra.

Moffen skrev:
Precis, 2 av summorna försvinner eftersom de inte har något $θ$ beroende. För den summan som blir kvar:
$\frac{\partial \log θ}{\partial θ} = \frac{\partial}{\partial θ} (\underset{i}{(- \sum \frac{y_{i}}{2 θ^{2}}}) + \frac{n}{θ}) = - \sum_{i} y_{i} \cdot \frac{\partial}{\partial θ} (\frac{1}{2 θ^{2}}) - \frac{n}{θ^{2}}$ . Kan du beräkna $\frac{\partial}{\partial θ} (\frac{1}{2 θ^{2}})$ ?
Det borde dock inte vara något "-" tecken, de borde ta ut varandra.

Tack för du tog dig tid att svara. Det blir så här: $\frac{\partial \log θ}{\partial θ} (\frac{1}{2 θ^{2}}) = \frac{1}{θ^{3}}$ .
Nu förstår jag

Du missar ett minustecken (och ditt skrivsätt är konstigt med $\frac{\partial \log θ}{\partial θ} (. . .)$ , kanske glömd ett likamedstecken?). Hur som helst:

$\frac{1}{2 θ^{2}} = \frac{1}{2} θ^{- 2}$ , vars derivata är $\frac{1}{2} \cdot (- 2) \cdot θ^{- 3} = - \frac{1}{θ^{3}}$ .

Moffen skrev:
Du missar ett minustecken (och ditt skrivsätt är konstigt med $\frac{\partial \log θ}{\partial θ} (. . .)$ , kanske glömd ett likamedstecken?). Hur som helst:
$\frac{1}{2 θ^{2}} = \frac{1}{2} θ^{- 2}$ , vars derivata är $\frac{1}{2} \cdot (- 2) \cdot θ^{- 3} = - \frac{1}{θ^{3}}$ .

Oj, jag råkade göra lite slarvfel. Du fyllde ut det som behövdes. Tack för din tid och hjälp!😁

Svara

Visa senaste svar