Determinant ( 2x2 matrix) (Matematik/Universitet/Linjär Algebra)

Jag vet inte vad som förklaras, men om $a=0$ så kan man mycket riktigt inte multiplicera med $1/a$ . Härledningen i bilden antar alltså implicit att $a\neq 0$ . För övrigt så om man multiplicerar en rad med en faktor $k$ så förändras också determinanten med samma faktor $k$ .

Determinanten av matrisen $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ är $ad-bc$ , så om $a=0$ följer det att determinanten är $-bc$ .

Gustor skrev:
Jag vet inte vad som förklaras, men om $a=0$ så kan man mycket riktigt inte multiplicera med $1/a$ . Härledningen i bilden antar alltså implicit att $a\neq 0$ . För övrigt så om man multiplicerar en rad med en faktor $k$ så förändras också determinanten med samma faktor $k$ .

Determinanten av matrisen $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ är $ab-cd$ , så om $a=0$ följer det att determinanten är $-cd$ .

Han förklara sekunder in i videon: https://youtu.be/uQc0DdOkaIw?si=wb1lrFl75s-geJev

Det jag undrar är hur man härleder formen för determinanten av 2x2 matriser när a = 0 på likande sätt

OK, man gör på samma sätt utom att man inte behöver det första steget. Gör som i filmen och kör vanlig Gausseliminering. Systemet $\begin{pmatrix} 0 & c\\b & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ har en unik lösning om talet $\frac{1}{-bc}$ är definierat, vilket sker om och endast om $-bc\neq 0$ , dvs. om och endast om determinanten är nollskild.

Gustor skrev:
OK, man gör på samma sätt utom att man inte behöver det första steget. Gör som i filmen och kör vanlig Gausseliminering. Systemet $\begin{pmatrix} 0 & c\\b & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ har en unik lösning om talet $\frac{1}{-bc}$ är definierat, vilket sker om och endast om $-bc\neq 0$ , dvs. om och endast om determinanten är nollskild.

jag har försökt men då tänker jag, tänk om c också hade vart 0 osv. jag hamnar i ett senario där jag börja tänka på massor av edge cases

Låt matrisen för systemet vara $A=\begin{pmatrix}a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ , låt $\mathbf{x} =\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ och $\mathbf{k} =\begin{pmatrix} k_1\\ k_2\end{pmatrix}$ .

Vi har sett att om $a, b, c, d$ alla är nollskilda så ger resonemanget i filmen att systemet $A\mathbf{x} =\mathbf{k}$ har en unik lösning om och endast om $\det A \neq 0$ .

Vi har också sett att om $a=0$ och $b, c, d\neq 0$ så gäller även då att $A\mathbf{x}=\mathbf{k}$ har en unik lösning om och endast om $\det A = -bc \neq 0$ .

Detta resonemang kan upprepas om istället någon av $b, c, d$ är noll och de andra tre nollskilda.

Om både $a=0$ och $c=0$ (men $b\neq 0$ , $d\neq 0$ ) har du en ekvation på formen $bx + dy = k_2$ . Den har ingen unik lösning eftersom vi har en ekvation med två okända (underbestämt system). Determinanten är här 0, vilket betyder att även i detta fall gäller att systemet har en unik lösning om och endast om determinanten inte är noll.

Vi kan upprepa detta resonemang för fallet då den andra raden är noll, alltså $b=d=0$ .

Om en kolumn är lika med 0, alltså om t.ex. $a=0$ och $b=0$ (men $c\neq 0$ och $d\neq 0$ ) har du ett system på formen $cy = k_1$ , $dy = k_2$ vilket har oändligt många lösningar om $\frac{k_1}{c}=\frac{k_2}{d}$ (eftersom $x$ kan vara vad som helst), och saknar lösningar annars. Determinanten här är noll, så det stämmer även här att vi inte får några unika lösningar.

Samma typ av resonemang kan användas om den andra kolonnen (talen $c, d$ ) är noll.

Om tre av de fyra talen är noll så har vi en ekvation på formen $ax=k$ , vilket alltid ger oändligt många lösningar eftersom den andra variabeln kan vara vad som helst. Determinanten är återigen noll, så även detta fall är verifierat.

Till sist så om alla fyra talen $a, b, c, d$ är noll så saknar systemet lösningar om inte $k_1=k_2=0$ , i vilket fall det finns öändligt många lösningar ( $x$ och $y$ kan väljas till vad som helst).

Vi har nu täckt in alla möjliga kombinationer av $a, b, c, d$ lika med noll eller skilda från noll, och visat att påståendet

$A\mathbf{x} =\mathbf{k} \text{ har en unik lösning }\iff \det A\neq 0$

gäller i samtliga fall.

Tillägg: 5 mar 2025 16:43

Fallet då en diagonal är noll, säg $a=d=0$ , kan ses som ett specialfall av fallet så $a=0$ . Systemet har då en unik lösning om och endast om både $b$ och $c$ är nollskilda, vilket sker om och endast om $-bc=\det A\neq 0$ .

Gustor skrev:
Låt matrisen för systemet vara $A=\begin{pmatrix}a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ , låt $\mathbf{x} =\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ och $\mathbf{k} =\begin{pmatrix} k_1\\ k_2\end{pmatrix}$ .

Vi har sett att om $a, b, c, d$ alla är nollskilda så ger resonemanget i filmen att systemet $A\mathbf{x} =\mathbf{k}$ har en unik lösning om och endast om $\det A \neq 0$ .

Vi har också sett att om $a=0$ och $b, c, d\neq 0$ så gäller även då att $A\mathbf{x}=\mathbf{k}$ har en unik lösning om och endast om $\det A = -bc \neq 0$ .

Detta resonemang kan upprepas om istället någon av $b, c, d$ är noll och de andra tre nollskilda.

Om både $a=0$ och $c=0$ (men $b\neq 0$ , $d\neq 0$ ) har du en ekvation på formen $bx + dy = k_2$ . Den har ingen unik lösning eftersom vi har en ekvation med två okända (underbestämt system). Determinanten är här 0, vilket betyder att även i detta fall gäller att systemet har en unik lösning om och endast om determinanten inte är noll.

Vi kan upprepa detta resonemang för fallet då den andra raden är noll, alltså $b=d=0$ .

Om en kolumn är lika med 0, alltså om t.ex. $a=0$ och $b=0$ (men $c\neq 0$ och $d\neq 0$ ) har du ett system på formen $cy = k_1$ , $dy = k_2$ vilket har oändligt många lösningar om $\frac{k_1}{c}=\frac{k_2}{d}$ (eftersom $x$ kan vara vad som helst), och saknar lösningar annars. Determinanten här är noll, så det stämmer även här att vi inte får några unika lösningar.

Samma typ av resonemang kan användas om den andra kolonnen (talen $c, d$ ) är noll.

Om tre av de fyra talen är noll så har vi en ekvation på formen $ax=k$ , vilket alltid ger oändligt många lösningar eftersom den andra variabeln kan vara vad som helst. Determinanten är återigen noll, så även detta fall är verifierat.

Till sist så om alla fyra talen $a, b, c, d$ är noll så saknar systemet lösningar om inte $k_1=k_2=0$ , i vilket fall det finns öändligt många lösningar ( $x$ och $y$ kan väljas till vad som helst).

Vi har nu täckt in alla möjliga kombinationer av $a, b, c, d$ lika med noll eller skilda från noll, och visat att påståendet

$A\mathbf{x} =\mathbf{k} \text{ har en unik lösning }\iff \det A\neq 0$

gäller i samtliga fall.

Tillägg: 5 mar 2025 16:43

Fallet då en diagonal är noll, säg $a=d=0$ , kan ses som ett specialfall av fallet så $a=0$ . Systemet har då en unik lösning om och endast om både $b$ och $c$ är nollskilda, vilket sker om och endast om $-bc=\det A\neq 0$ .

Tack!