Determinanten = area av ett parallelogram

Hej, jag försöker bevisa att om man tolkar kommunerna i en 2x2 matris som vektorer så är arean som de två vektorerna ger upphov till (parallellogrammet) absolutbeloppet av determinanten för den matrisen…

men |aD| - |Bc| är inte lika med |det(A)| = |aD-Bc|

Du har räknat ut en felaktig formel för arean av en parallellogram (basen gånger höjden). Om du vill kan du använda kryssprodukten.

Låt $\mathbf{u}=(a,c,0)$ samt $\mathbf{v}=(b,d,0)$ . Då är arean

$A=|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|=|(0,0,ad-bc)|=|ad-bc|$

D4NIEL skrev:
Du har räknat ut en felaktig formel för arean av en parallellogram (basen gånger höjden). Om du vill kan du använda kryssprodukten.

Låt $\mathbf{u}=(a,c,0)$ samt $\mathbf{v}=(b,d,0)$ . Då är arean

$A=|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|=|(0,0,ad-bc)|=|ad-bc|$

Tänkte på den lösningen med är det inte så att kryssprodukten endast tillämpas i R^3 och inte R^2? 🤔

Du kan även använda skalärprodukten.

$|\vec{u}| |\vec{v}| \cos θ = \vec{u} ∙ \vec{v}$ . Kvadrera båda led.

${|\vec{u}|}^{2} {|\vec{v}|}^{2} (1 - \sin^{2} θ) = {(\vec{u} ∙ \vec{v})}^{2}$ . Omgruppera lite och dra roten ur.

$|\vec{u}| |\vec{v}| \sin θ = \sqrt{{|\vec{u}|}^{2} {|\vec{v}|}^{2} - {(\vec{u} ∙ \vec{v})}^{2}}$ .

Resten blir en massa algebra bara för att utveckla HL.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan även använda skalärprodukten.

$|\vec{u}| |\vec{v}| \cos θ = \vec{u} ∙ \vec{v}$ . Kvadrera båda led.

${|\vec{u}|}^{2} {|\vec{v}|}^{2} (1 - \sin^{2} θ) = {(\vec{u} ∙ \vec{v})}^{2}$ . Omgruppera lite och dra roten ur.

$|\vec{u}| |\vec{v}| \sin θ = \sqrt{{|\vec{u}|}^{2} {|\vec{v}|}^{2} - {(\vec{u} ∙ \vec{v})}^{2}}$ .

Resten blir en massa algebra bara för att utveckla HL.

Fast hur har det där med area att göra? 😕

Vi vet att arean = $|\vec{u}| |\vec{v}| \sin θ$ . Se D4NIELS figur i #2.

PATENTERAMERA skrev:
Vi vet att arean = $|\vec{u}| |\vec{v}| \sin θ$ . Se D4NIELS figur i #2.

Tack!

Svara

Visa senaste svar