Härleda determinant av blockmatris med definitionen - har jag tänkt rätt?

En fråga vi fick häromveckan var följande:

Låt $\displaystyle M = \begin{bmatrix}A & B \ C & D\end{bmatrix} \in \mathbb R^{2n \times 2n}$ vara en blockmatris med $A, B, C, D \in \mathbb R^{n \times n}$. Visa att $\det M = (\det A)(\det D)$ om $B = 0$ eller $C = 0$.

Jag tyckte det skulle vara lite kul att lösa denna med determinantens definition. Nedan finns min lösning, men jag är osäker kring om jag gjort rätt. I detta inlägg kommer jag använda samma notation som i wikipedia-länken ovan. 

Antag $C=0$. Vi har, enligt definitionen ($a_{i,j}$ är talet i den $i$:te raden, $j$:te kolumnen i $M$), att

$\displaystyle\det M = \sum_{\sigma \in S_{2n}}\operatorname{sgn}\left(\sigma\right) \prod_{k=1}^{2n} a_{k, \sigma(k)}$.

Vi har att om $\sigma(k) \leq n$ för något $k > n$ så är produktdelen av summan $0$ (det blir ett tal i "$C$"-delen av matrisen, där vi endast har nollor). Alla $\sigma$ som inte uppfyller detta har egenskaperna

$\sigma(k) > n$ för alla $n< k \leq 2n$ 
$\sigma(k) \leq n$ för alla $1\leq k\leq n$

(den andra följer från att $\sigma$ är surjektiv)

Vi kan dela upp permutationerna som har dessa egenskaper i en sammansättning av två permutationer $\tau$ och $\rho$ där $\tau$ är en permutation av $\{1,\dots n\}$ och $\rho$ en permutation av $\{n+1,\dots, 2n\}$. Vi får att $\sigma(k) = (\rho \circ \tau)(k)$ (där $\rho, \tau$ inte ändrar argument utanför sin "definitionsmängd"). Då kan vi skriva om summan från tidigare att summera över alla $\rho, \tau$ istället för över alla $\sigma$. (Även om $\rho$ permuterar en annan mängd än de första $n$ positiva heltalen permuterar den fortfarande $n$ heltal, så för att förenkla notation tänker jag skriva att $\rho \in S_n$ ändå). Då bör vi få 

$\displaystyle\det M = \sum_{\rho, \tau \in S_{n}}\operatorname{sgn}\left(\rho \circ \tau\right)\prod_{k=1}^{2n}a_{k, (\rho\circ \tau)(k)}$.

Då signum är multiplikativ kan vi särskriva det uttrycket. Vidare kan vi skriva om summan $\sum_{\rho, \tau \in S_{n}}$ till dubbelsumman $\sum_{\tau\in S_{n}}\sum_{\rho\in S_n}$, eftersom vi summerar över varje kombination av $\tau$ och $\rho$. Detta ger 

$\displaystyle\det M = \sum_{\tau \in S_{n}}\sum_{\rho\in S_n}\operatorname{sgn}\left(\rho \right)\operatorname{sgn}\left(\tau\right)\prod_{k=1}^{2n}a_{k, (\rho\circ \tau)(k)}$.

Vidare har vi att 

$\displaystyle \prod_{k=1}^{2n}a_{k, (\rho\circ \tau)(k)} = \prod_{k=1}^{n}a_{k, \tau(k)}\prod_{k=1}^{n}a_{n+k, \rho(n+k)}$

eftersom $\rho$ inte påverkar de första $n$ talen och densamma för $\tau$ för de sista $n$ talen. Detta ger slutligen att

$\displaystyle\det M = \sum_{\tau\in S_{n}}\sum_{\rho \in S_n}\operatorname{sgn}\left(\rho \right)\operatorname{sgn}\left(\tau\right)\prod_{k=1}^{n}a_{k, \tau(k)}\prod_{k=1}^{n}a_{n+k, \rho(n+k)}$
$\displaystyle = \left(\sum_{\tau \in S_n}\operatorname{sgn}\left(\tau\right)\prod_{k=1}^{n}\underbrace{a_{k, \tau(k)}}_{\text{tal i } A}\right) \left(\sum_{\rho \in S_{n}}\operatorname{sgn}\left(\rho \right)\prod_{k=1}^{n}\underbrace{a_{n+k, \rho(n+k)}}_{\text{tal i } D}\right)= \left(\det A\right)\left(\det D\right)$.

För fallet $B = 0$ kan vi använda egenskapen att transponat har samma determinant, vilket gör om det till fallet vi redan löst.. 

Jag kan tänka mig att jag gjort några misstag på vägen, men jag har inte funnit något. Jag undrar främst om jag tänkt rätt i uppdelningen av $\sigma$ i två "mindre" permutationer och uppdelningen av summan efter det. Algebran tror jag är ok. Finns det någon bättre notation att använda gällande $\rho$ som inte riktigt ligger i $S_n$, fast beter sig ungefär som det?