determinant och abels formel

Hej!

Vad är det för additionsregel för determinanter du nämner? Talet det(A+B) är inte lika med summan det(A) + det(B), där A och B är kvadratiska matriser av samma typ. 

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Vad är det för additionsregel för determinanter du nämner? Talet det(A+B) är inte lika med summan det(A) + det(B), där A och B är kvadratiska matriser av samma typ. 

Albiki

Hej!

Det är den som säger att om en kolonn i en matris är summan av två kolonner så är determinanten summan av två determinanter där i den ena matrisen har vi den ena kolonnen och i den andra har vi den andra. Lite svårt att förklara men du känner säkert till den.

Hej!

Det du skrivit är nonsens, eftersom $\det(I+\epsilon A + O(\epsilon^2))$ är ett tal och $1 + \epsilon \text{tr}(A) + O(\epsilon^2)$ är en summa av två tal och en matris!

Det kanske istället ska stå

    $\displaystyle \det(E + \epsilon A + M) = 1 + \epsilon \text{tr}(A) + O(\epsilon^2)$ där $\frac{1}{\epsilon^2}\cdot O(\epsilon^2)$ är en begränsad reellvärd funktion?

Albiki

Hej!

Symbolen $E$ betecknar enhetsmatrisen av samma typ som den kvadratiska matrisen $A$, och $M$ betecknar en kvadratisk matris av samma typ som $A$ och vars matrisnorm är sådan att

    $\displaystyle ||M|| \leq \epsilon^2 \cdot f(\epsilon)$ där $f$ är en begränsad reellvärd funktion.

Albiki

Hej!

Med hjälp av produktregeln $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ och determinanten för matrisexponentialen kan man skriva följande beräkning.

    $\displaystyle \det(e^{t(E+\epsilon A + M)}) = \det(e^{tE}\cdot e^{t\epsilon A} \cdot e^{tM}) = \det(e^{tE}) \cdot \det(e^{t\epsilon A}) \cdot \det(e^{t M}) = e^{t\text{tr}(E)} \cdot e^{t\text{tr}(\epsilon A)} \cdot e^{t\text{tr}(M)} \ .$

Albiki

Albiki, O(epsilon^2) definierades som en matris. En ovanlig beteckning men den kan väl accepteras.

Uppgiften är nästan löst, bara att göra en lämplig uppskattning.

Albiki skrev :

Hej!

Med hjälp av produktregeln $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ och determinanten för matrisexponentialen kan man skriva följande beräkning.

    $\displaystyle \det(e^{t(E+\epsilon A + M)}) = \det(e^{tE}\cdot e^{t\epsilon A} \cdot e^{tM}) = \det(e^{tE}) \cdot \det(e^{t\epsilon A}) \cdot \det(e^{t M}) = e^{t\text{tr}(E)} \cdot e^{t\text{tr}(\epsilon A)} \cdot e^{t\text{tr}(M)} \ .$

Albiki

I vänsterledet menar man att O(ε^2) är en matris och i högerledet menar man att O(ε^2) är ett reellt tal.  Jag tror dessutom inte att man kan göra det omskrivningarna du gör.  exp(A+B) = exp(A)exp(B) gäller om A och B kommuterar. I ditt fall så är det väl inte säkert att A och M kommuterar?

voun skrev :

I ditt fall så är det väl inte säkert att A och M kommuterar?

Korrekt.

 voun har fått hjälp på Flashback.