Diagonalisering

Jag hänger inte med på vad du gör när du bestämmer egenvärdena, du verkar kasta om raderna, och byta tecken, och något annat hokuspokus?

Det enklaste är att bestämma egenvärdena ur den karaktäristiska ekvationen $\det(A-\lambda\mathbf{E})=0$

$\lambda^2-\lambda-6=0$

Matrisens egenvärden är alltså $\lambda_1=-2$ och $\lambda_2=3$.

Det ger t.ex. egenvektorerna $\mathbf{g_1}=(-2,3)$ och  $\mathbf{g_2}=(1,1)$.  Du får naturligtvis skala om egenvektorerna som du (eller facit) vill. 

Okej jag är med på det, men en fråga när dom frågar efter att diagonlisera matriser när kan man säga att det inte går? Kan du ge något exempel?

I ditt fall gäller att A är diagonaliserbar eftersom vi kan konstruera $A=PDP^{-1}$, där Ps kolonner består av egenvektorerna och Ds diagonalelement är korresponderande egenvärden.

Allmänt gäller att nxn-matrisen A är diagonaliserbar $P^{-1}AP=D$ omm P:s kolonner är linjärt oberoende egenvektorer till A.

Ett klassiskt exempel på en icke-diagonaliserbar matris är följande

$\begin{bmatrix}a&5&0\\0&a&0\\0&0&a\end{bmatrix}$

Matrisen har det enda egenvärdet $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=a$. För att A ska vara diagonaliserbar måste det existera 3 linjärt oberoende egenvektorer till detta egenvärde.

När vi undersöker saken inser vi strax att det bara existerar 2 linjärt oberoende egenvektorer. Alltså måste vi dra slutsatsen att A inte är diagonaliserbar i detta fall.