Diagonalize the operator L: R_2[t]=>R_2[t]
Hej!
Denna uppgift gicks igenom på en övning idag och jag fattar verkligen inte var basen E kommer ifrån som introduceras samt varför man stoppar in L(1) och hur man får uttrycket -1+3t+t^2.
Jag förstår inte heller vad [L]E är för matris samt vad den där egenbas är för något.
E är ”standardbasen” för polynom upp till och med grad 2.
[L]E är avbildningens matris relativt standardbasen. Kolonnerna i denna matris är koordinaterna relativt standardbasen för L:s avbildningar av standardbasen.
Dvs första kolonnen är koordinaterna för L(1) relativt standardbasen. Eftersom L(1) är lika med -1 + 3t + t2 så blir första kolonnen [-1 3 1]T. Du får göra på motsvarande sätt med de övriga polynomen i E.
Du beräknar L(1) med formeln som du fått i problemtexten. Notera att om p(t) = 1 så gäller det att p(0) = p(1) = p(2) = 1.
En egenbas till L är en bas där alla polynomen i basen är egenpolynom till L.
PATENTERAMERA skrev:E är ”standardbasen” för polynom upp till och med grad 2.
[L]E är avbildningens matris relativt standardbasen. Kolonnerna i denna matris är koordinaterna relativt standardbasen för L:s avbildningar av standardbasen.
Dvs första kolonnen är koordinaterna för L(1) relativt standardbasen. Eftersom L(1) är lika med -1 + 3t + t2 så blir första kolonnen [-1 3 1]T. Du får göra på motsvarande sätt med de övriga polynomen i E.
Du beräknar L(1) med formeln som du fått i problemtexten. Notera att om p(t) = 1 så gäller det att p(0) = p(1) = p(2) = 1.
En egenbas till L är en bas där alla polynomen i basen är egenpolynom till L.
Ok. Så om vi stoppar in L(t) så får vi -t+3t^2+t^3 och l(t^2)=-t^2+3t^3+t^4, men hur gör man detta till en matris ?
Nej det stämmer inte.
p(t) = t. Då gäller p(0) = 0, p(1) = 1, p(2) = 2.
L(p) = -p(0) + 3p(1)t + p(2)t2 = 0 + 3t + 2t2. Så andra kolonnen i matrisen blir [0 3 2]T.
Hur blir det för p(t) = t2?
PATENTERAMERA skrev:Nej det stämmer inte.
p(t) = t. Då gäller p(0) = 0, p(1) = 1, p(2) = 2.
L(p) = -p(0) + 3p(1)t + p(2)t2 = 0 + 3t + 2t2. Så andra kolonnen i matrisen blir [0 3 2]T.
Hur blir det för p(t) = t2?
Aa ok nu är jag med på detta. Det blir då p(t)=t^2 , då är p(0)=0, p(1)=1 , p(2)=4 så vi får 0+3t+4t^2. I vanliga linjär algebra så var diagonalmatris typ egenvärdena till matrisen och sen var det något sånt som A=PDP-1 som jag tror hade med diagonalisering att göra, är det samma de gör här?
Ja, det gäller generellt att en avbildnings matris relativt en bas av egenvektorer är diagonal, där diagonalelementen utgörs av egenvärdena.
PATENTERAMERA skrev:Ja, det gäller generellt att en avbildnings matris relativt en bas av egenvektorer är diagonal, där diagonalelementen utgörs av egenvärdena.
Ja precis. Så diagonaliseringen blir alltså PDP-1 och sen får man översätta tillbaka till polynombas från matris?
