diffekv

Välkommen till Pluggakuten! Lägg varje fråga i en egen tråd, så blir det mindre rörigt. /Smutstvätt, moderator

Angående första frågan, hur har du försökt själv? Denna typ av diffar brukar lösas genom att först omvandlas till andragradsekvationer, har du gjort det tidigare?

Ja mitt försök var följande: 
y´= Ce^4x
y=C*e^4x/4  + D

Känner mig osäker på att omvandla andragradare.. 

Aliceengdahl skrev:

Ja mitt försök var följande: 
y´= Ce^4x
y=C*e^4x/4  + D

Känner mig osäker på att omvandla andragradare.. 

Nja, inte helt rätt, men du har gjort en viktig insikt - att $e^{kx}$ (där $k$ är en konstant) har några trevliga egenskaper som vi kan utnyttja här.

Man brukar i sådana här fall göra en ansats $y=e^{kx}$ och då få $y'=ke^{kx}$ och $y''=k^2e^{kx}$. Sätter vi in detta i ekvationen händer något ganska trevligt.

$k^2e^{kx}-4e^{kx}=0$

$e^{kx}(k^2-4)=0$

Kan du nu bestämma vad $k$ ska vara?

När det kommer till andra gradens diffar finns det olika standardlösningar beroende på vilken typ av ekvation det handlar om. Första gradens diff har mycket riktigt lösningen $y=Ce^{kx}$, men för andra gradens diffar finns det tre olika lösningar. Vi kan avgöra vilken av standardlösningarna som bör användas genom att omvandla diffen till en andragradsekvation. Vi sätter $y\text{'}\text{'}=r^2$, $y\text{'}=r$ och y som en konstant. I denna uppgift får vi då:

$y\text{'}\text{'}-4y=0 \mathbf{~} r^2-4r=0$

En diff av andra graden har lösningsformen:

$y=A{e}^{r_{1}x}+B{e}^{r_{2}x}$, om r har två olika värden. 

$y=e^{rx}(A+Bx)$, om r endast har ett värde.

$y=\left(C_1\cos \right(bx)+C_2\sin (bx\left)\right)e^{ax}$, om r har de komplexa värdena $a\pm bi$. 

Vilken lösningsform passar i ditt fall? :)

okej jag trodde att man skulle sätta in 4an i exponenten k. men tack för denna förklaringen! 
Kan jag helt enkelt tänka parentesen som 0 och att K är 2?  (2^2=4--> 4-4=0?) eller är det en för enkel väg? 

Lösningsalternativet i mitten då. 
Tack snälla för din hjälp :) 

Nja, $k=2$ är en av lösningarna, men det finns även $k=-2$. Ser du varför?

Juste ja det blir 4 båda två! Så då har jag K1=2 och K2=-2

Aliceengdahl skrev:

Juste ja det blir 4 båda två! Så då har jag K1=2 och K2=-2

Just det. Vilket av Smutstvätts alternativ ska man använda då?

den första då? 

Vad får du då för svar? :)

Bara så jag tänker rätt nu. Ska man alltså först få fram e^kx(k^2-4)=0 och där ser man att det finns 2 värden på K. Det gör att man sedan ska använda alternativ ett och sätta in de två värdena? Blev lite förvirrad nu. 

Precis rätt!