10 svar
81 visningar
Andreas Wartel 64
Postad: 19 okt 2022 14:53 Redigerad: 19 okt 2022 14:56

Diffekvation

Jag vill lösa y´=-y2xy´= -\frac{y}{2x}. Så frågan jag ställer mig är hur ska CekxCe^{kx} se ut så att det blir -y2x-\frac{y}{2x} om jag deriverar det? Men om kk är -12x-\frac{1}{2x} så är y=e-12xx=e-12y=e^{-\frac{1}{2x}x}=e^{-\frac{1}{2}} vilket är en konstant med derivatan noll. 

Tacksam för hjälp!

Smutstvätt 25132 – Moderator
Postad: 19 okt 2022 15:10 Redigerad: 19 okt 2022 19:16

Det finns ingen lösning på den formen. Däremot stämmer inte din förenkling här: 

Andreas Wartel skrev:

Men om kk är -12x-\frac{1}{2x} så är y=e-12xx=e-12y=e^{-\frac{1}{2x}x}=e^{-\frac{1}{2}}

Detta stämmer endast om x är nollskild. 

Det finns lösningar, men de är på formen y(x)=Cex24, och andra lösningsmetoder. :)

EDIT: Se Lagunas inlägg längre ned i tråden. 

Andreas Wartel 64
Postad: 19 okt 2022 15:23

Ok tack! Ja uppgiften handlar egentligen om att avgöra om tangenter som markerats i ett riktingsfält lutar rätt. 

Men jag förstår inte hur jag skulle derivera eller så att säga derivera baklänges för att komma fram till Cex24Ce\frac{x^2}{4}. Om vi börjar med hur man skulle derivera Cex24Ce\frac{x^2}{4}, vad är kk? jag blir förvirrad av x2x^2-termen. Är det en sammansatt funktion?

Smutstvätt 25132 – Moderator
Postad: 19 okt 2022 15:29 Redigerad: 19 okt 2022 19:17

Ursäkta om det ser otydligt ut. x^2/4 är en exponent. :)

EDIT: Se Lagunas inlägg längre ned i tråden. 

Andreas Wartel 64
Postad: 19 okt 2022 16:38

Jo jag tror vi menar samma. Men förstår inte riktigt hur jag kan derivera detta. Alltså uppgiften går ut på att jag genom att få veta att y´=−y/2x ska se att derivatan i punkten (2, 2) ska vara -1/2. Hur kan jag komma fram till y?

Andreas Wartel 64
Postad: 19 okt 2022 16:43 Redigerad: 19 okt 2022 16:44

Tror jag fattar nu. Behöver väl inte ens hitta f(x). Jag sätter ju y=2 och x=2. Då står det ju y’=-1/2, tänk va!

Smutstvätt 25132 – Moderator
Postad: 19 okt 2022 16:50

Om det är tangentlinjerna du ska kontrollera, så räcker det absolut, ja! :)

Laguna Online 30622
Postad: 19 okt 2022 18:50

Jag tror inte lösningsmetoden är för avancerad för Matte 5. Så här gör man:

y'/y = -1/2x = -1/2 * 1/x

ln(y) = -1/2 * ln(x) + C1 

y = C * x-1/2 = Cx\frac{C}{\sqrt{x}}

Smutstvätt 25132 – Moderator
Postad: 19 okt 2022 19:16
Laguna skrev:

Jag tror inte lösningsmetoden är för avancerad för Matte 5. Så här gör man:

y'/y = -1/2x = -1/2 * 1/x

ln(y) = -1/2 * ln(x) + C1 

y = C * x-1/2 = Cx\frac{C}{\sqrt{x}}

Helt rätt, gissa vem som glömde en parentes? 😅

Andreas Wartel 64
Postad: 20 okt 2022 15:07

Tack! Men jag är fortfarande nybörjare i differentialekvationer och försöker förstå det mest basala. Man skriver i min lärobok att y´=2y och så har de ritat ett riktningsfält där man tex kan se att när y=1 så lutar tangenterna med k=2. Detta är inte svårt att förstå. Men så skriver de att just denna ekvation kan lösas exakt: y=Ce2xy=Ce^{2x}. Det jag inte förstår är att om jag är fri att välja CC så kan jag ju få vilket värde som helt. Menar man att om man tex sätter x=7347 och hittar ett C så att y=Ce2·7347=1y=Ce^{2·7347}=1, så har man hittat en lösningskurva?

Smutstvätt 25132 – Moderator
Postad: 20 okt 2022 18:46

Jag är inte säker på hur du menar, men ett vektorfält innehåller olika värden på C. Denna bild (snodd från WolframAlpha) visar just y'=2yy'=2y:

Här kan vi hitta många olika kurvor, alla på formen y=Ce2xy=Ce^{2x}

Varje svart linje motsvarar y=Ce2xy=Ce^{2x} för ett visst värde på C. :)

Svara
Close