Diffekvation

Att göra ett antagande kan du behöva göra senare, men först behövs några mer allmänna steg: 

Vad är motsatsen till en derivata? Vad händer om du applicerar denna motsats på en derivata? :)

Smutstvätt skrev:

Vad är motsatsen till en derivata?

Primitiv funktion? Eller integral?

Vad händer om du applicerar denna motsats på en derivata? :)

Om jag gör det fyra gånger på y'''' så borde jag få y? (Edit: borde räcka med 3 gånger?)

OILOL skrev:

Smutstvätt skrev:

Vad är motsatsen till en derivata?

Primitiv funktion? Eller integral?

Precis! Motsatsen till att derivera är att integrera, vilket vi kan använda oss av i detta fall. 

Vad händer om du applicerar denna motsats på en derivata? :)

Om jag gör det fyra gånger på y'''' så borde jag få y?

Nästan! Prova med funktionen $y=x^3-4$. Derivera den (en gång räcker) och integrera derivatan. Vad får du tillbaka då? :)

Smutstvätt skrev:

Nästan! Prova med funktionen $y=x^3-4$. Derivera den (en gång räcker) och integrera derivatan. Vad får du tillbaka då? :)

y'=3x²

integrerad så blir det y=x³+C?

Mycket riktigt! :)

Så om du nu integrerar båda led i uppgiftens ekvation, vad får du då? Vad får du om du integrerar en gång till? :)

$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}\text{'}=Y+c \\ y\text{'}\text{'}=Z+cx+d (Z\text{'}=Y) \\ y\text{'}=Q+\frac{c{x}^2}{2}+dx+e (Q\text{'}=Z) \\ y=R+\frac{c{x}^3}{6}+\frac{d{x}^2}{2}+ex+g (R\text{'}=Q) \end{gathered}$$

Du tänker rätt, men du går lite för långt. Det är viktigt att hålla koll på variablerna: 

$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}=y\text{'}\text{'} \\ \int y\text{'}\text{'}\text{'}\text{'} dy=\int y\text{'}\text{'} dy \\ y\text{'}\text{'}\text{'}=y\text{'}+C \\ \int y\text{'}\text{'}\text{'} dy=\int \left(y\text{'}+C\right) dy \\ y\text{'}\text{'}=y+Cx+D \end{gathered}$$

Nu har vi en andra ordningens differentialekvation vi kan lösa. :)

Hur blir det $y\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}=y\text{'}\text{'}$?

Ekvationen från början (i uppgiften) är $y''''=y''$. :)

Nej Förlåt!! Det blev otydligt med mina citattecken. Det ska vara $y\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}=y$

Ingen fara, sånt är lätt hänt! 

Det blir inte $y''''=y$, men om du menar $y''=y$, så uppstår (ungefär) den likheten av att integration är motsatsen till derivering. Så om vi integrerar något vi deriverat, får vi tillbaka ursprungsuttrycket, plus en eventuell konstant. Första gången vi integrerar båda led, kommer vi att "skala av" en derivering, och då kvarstår $y'''=y'+C$. Därefter kan vi integrera båda led igen, och "skala av" ytterligare ett lager av derivata, och kvar har vi då $y''=y+Cx+D$. :)