Diffekvation för exponentialpolynom (facit: I don't like you)

Jag har följande uppgift:

Jag kommer fram till $z + z'' = x$ men därifrån visste jag inte hur jag kan fortsätta.

Faciten säger att ersätta $z = a x + b$ , men det känns konstigt. Finns det alternativa lösningar? Varför skulle vi ersätta $z$ med en förstagradpolynom överhuvudtaget?

Mitt försök:

Nu är jag lat (läs: har lite bråttom), och har bara löst partikulärlösningen, men den är följande:

Vår partikulärlösning måste kunna ge oss värden enligt en linjär funktion, eftersom HL är en linjär funktion, multiplicerat med ett visst tal, i detta fall $e^{x}$ , men vi sätter detta tal åt sidan för stunden. Då har vi ansättningen till en partikulärlösning som $y_{P} = e^{x} (a x + b) = a x e^{x} + b e^{x}$ . Då kan vi direkt få ut att $y_{P}' = e^{x} (a + a x + b)$ och $y_{P}'' = e^{x} (a x + 2 a + b)$ . Sätt in detta i den ursprungliga diffen. Vad får du för värden på a och b? Vilken blir partikulärlösningen?

Mitt problem börjar ett steg förre: varför just detta ansättningen överhuvudtaget? Varför inte $a x^{2} + b x + c$ eller vad som helst nu?

Alltså hur bestäms att $z = a x + b$ ?

Med ansättning svaret ramlar av sig själv.

För att inte finns någon $x^{2}$ -term i HL att ta hänsyn till! Vi kan såklart ta med det i vår ansättning, och påstå att $y_{p}=ax^{2}+bx+c$ , eller fler termer av andra sorter, men vi vinner inget på det. a kommer vid insättning alltid att bli noll, annars finns det ingen differentialekvation med den partikulärlösningen. Vi tar med en konstant (alla lägre termer vid polynom) eftersom det kan dyka upp konstanter vid derivering, som måste tas hand om. Men det dyker aldrig upp en term av högre grad vid derivering. Vi vet vilken typ av termer som skulle kunna uppkomma vid en eller flera deriveringar, men vi vet också vilka termer som inte kan dyka upp. Därför kan vi utgå ifrån att partikulärlösningen kommer att ha formen $y_{p}=e^{x}(ax+b)$ .

Tack!

Varsågod!

Svara

Visa senaste svar