4 svar
18 visningar
dajamanté är nöjd med hjälpen!
dajamanté 4703
Postad: 13 jun 2018

Diffekvation (nästan!!)

Ok, så här gjorde jag:

1+x2y'-1-y2=0y'=1+y21+x2y'1+y2=11+x2dy1+y2=11+x2arctany=arctanx+c

Så jag trodde att nästa steg var helt enkelt att sätta tangens framför och behålla x+cx+c, men tyvärr måste vi använda oss av tangens dubbelvinkel formeln, men jag fattar inte varför?

Skall inte sista raden vara arc tan(y) = arc tan(x) + c?

Albiki 2024
Postad: 13 jun 2018

Konstanten CC bestäms av villkoret y(0)=1y(0)=1:

    arctan1=C+arctan0C=π4.\displaystyle \arctan 1 = C+\arctan 0 \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}.

Det gäller att

    arctany(x)=π4+arctanx\displaystyle \arctan y(x) = \frac{\pi}{4}+\arctan x

och additionsformel för tangensfunktion ger

    y(x)=1+x1-x.\displaystyle y(x) = \frac{1+x}{1-x}.

Albiki 2024
Postad: 13 jun 2018

Kontroll: Derivatan är y'(x)=1-x+1+x(1-x)2y'(x)=\frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} och differentialekvationens vänstra led är

    (1+x2)2(1-x)2-1-(1+x1-x)2=2+2x2-1+2x-x2-1-2x-x2(1-x)2=0(1-x)2\displaystyle(1+x^2)\frac{2}{(1-x)^2}-1-(\frac{1+x}{1-x})^2 = \frac{2+2x^2-1+2x-x^2-1-2x-x^2}{(1-x)^2}=\frac{0}{(1-x)^2}

vilket är lika med differentialekvationens högra led. 

dajamanté 4703
Postad: 13 jun 2018

Tack till båda, nu förstår jag.

När vi har hittat π4 det återstod att ersätta den med arctan(1)arctan(1).

Svara Avbryt
Close