9 svar
106 visningar
Nide är nöjd med hjälpen!
Nide 116
Postad: 11 feb 2019

Differentialekvation

Jag har fått uppgiften:

Jag har gjort klart deluppgift 'a' och fått att uttrycket blir: 4z''uv+2z'v (uttryckt i 'u' och 'v') men nu har jag fastnat på deluppgift 'b'.  Rent spontant tänker jag att svaret på deluppgift 'b' blir någonting i stil med "Alla funktioner 'z' på formen ax+by+c (dvs, alla funktioner där båda partiella derivator blir en konstant. Då blir andraderivatan noll).". Men hur räknar jag mig fram till detta? Jag tänker mig att jag tar uttrycket från deluppgift 'a' och gör om den till en ekvation på formen4z''uv-2z'v= 0. Nu tänker jag att man fortsätter genom att integrera båda leden (så att man får ut 'z'). Men den ena termen i vänsterledet går att integrera 2 gånger medan den högra termen i vänsterledet endast går att integrera 1 gång. Det känns som att något knasigt kommer ske om jag försöker integrera mer än 1 gång och hur jag än gör så kommer jag få 2 'z' termer i vänsterledet istället för 1. Så jag vet inte riktigt hur jag ska fortsätta härifrån. Är jag ens på rätt spår?

Hjälp?

Tack!

Albiki 4113
Postad: 11 feb 2019

Inför funktionen w(u,v) = 2z'_v(u,v) så att part.diffen blir 2w'_u-w=0. Lös denna för att få w(u,v) = ...+ f(v) för en godtycklig funktion f av variablen v. Detta ger part.diffen z'_v = 0.5...+0.5f(v). Lös denna för att få z(u,v) = ... + F(v) + c där c är en godtycklig konstant och F är en primitiv till f.

Nide 116
Postad: 12 feb 2019
Albiki skrev:

Inför funktionen w(u,v) = 2z'_v(u,v) så att part.diffen blir 2w'_u-w=0.

 Hamnar jag inte i samma situation som jag redan är i då? I "2w'_u-w=0" kan jag integrera "2w'_u" 1 gång men "w" kan jag integrera noll gånger. Hur får jag ut 'w'? Måste jag inte bli av med en av 'w' termerna för att få ut en konkret definition för 'w'? Integrerar jag båda termer så får jag ju 'w - W=0' (W= primitiv funktion av w). Flyttar jag W till HL får jag w=W, vilket säger att w är lika med sin egna primitiva funktion...

Troligen är jag bara dum i huvudet haha. Jag missar säkert någonting väldigt uppenbart här.

Albiki 4113
Postad: 12 feb 2019

När du vet w så ger det ekvationen z'_v = 0.5w som du kan integrera med avseende på v för att få z. 

AlvinB 3163
Postad: 12 feb 2019 Redigerad: 12 feb 2019

Ett annat alternativ är väl att använda sig av integrerande faktor. 

När man integrerat med avseende på vv en gång får man ju:

4z'u-2z=α1(u)4z'_u-2z=\alpha_1(u)

vilket kan omvandlas till:

z'u-z2=α2uz'_u-\dfrac{z}{2}=\alpha_2\left(u\right)

(jag låter αn(u)\alpha_n(u) beteckna en godtycklig funktion av uu)

Härifrån går det ju att använda integrerande faktor med e-u2e^{-\frac{u}{2}}:

z'ue-u2-z2e-u2=e-u2α2uz'_ue^{-\frac{u}{2}}-\dfrac{z}{2}e^{-\frac{u}{2}}=e^{-\frac{u}{2}}\alpha_2\left(u\right)

(ze-u2)'u=α3u(ze^{-\frac{u}{2}})'_u=\alpha_3\left(u\right)

ze-u2'u du=α3u du\displaystyle\int\left(ze^{-\frac{u}{2}}\right)'_u\ du=\int\alpha_3\left(u\right)\ du

ze-u2=α4u+βv     ze^{-\frac{u}{2}}=\alpha_4\left(u\right)+\beta\left(v\right)\ \ \ \ \ \ (där β(v)\beta(v) betecknar en godtycklig funktion av vv)

ze-u2·eu2=eu2·α4u+eu2·βvze^{-\frac{u}{2}}\cdot e^{\frac{u}{2}}=e^{\frac{u}{2}}\cdot\alpha_4\left(u\right)+e^{\frac{u}{2}}\cdot\beta\left(v\right)

z=α5u+eu2βvz=\alpha_5\left(u\right)+e^{\frac{u}{2}}\beta\left(v\right)

Hänger du med på det?

EDIT: Hade slarvat och skrivit β(u)\beta(u) istället för β(v)\beta(v). Det är nu tillrättat.

EDIT 2: Tydligen hade jag slarvat med integrerande faktorn också. Jag får bakläxa. Nu har jag dock kontrollräknat allting så det bör stämma.

Ändrade 2z2z till z2\frac{z}{2}, se nedan.

Nide 116
Postad: 12 feb 2019 Redigerad: 12 feb 2019
AlvinB skrev:

 

 

Härifrån går det ju att använda integrerande faktor med e-u2e^{-\frac{u}{2}}:

z'ue-u2-2ze-u2=e-u2α2uz'_ue^{-\frac{u}{2}}-2ze^{-\frac{u}{2}}=e^{-\frac{u}{2}}\alpha_2\left(u\right)

 

 Var kommer 2:an framför 'z' ifrån? Borde det inte vara z'ue-u2-12ze-u2 = e-u2a2(u) ?

EDIT: Jag förstår uträkningarna ändå fram till näst sista steget. Var kommer helt plötsligt den integrerande faktorn eu2 från?

AlvinB 3163
Postad: 12 feb 2019

Jo, det skall vara precis som du säger. Det är jag som slarvat. Har ändrat det nu.

Den integrerande faktorn kommer ju av att vi tar e upphöjt till den primitiva funktionen av faktorn framför zz. I detta fallet står det -12-\frac{1}{2} framför zz, och alltså får vi e-u2e^{-\frac{u}{2}}.

Nide 116
Postad: 12 feb 2019 Redigerad: 12 feb 2019
AlvinB skrev:

Den integrerande faktorn kommer ju av att vi tar e upphöjt till den primitiva funktionen av faktorn framför zz. I detta fallet står det -12-\frac{1}{2} framför zz, och alltså får vi e-u2e^{-\frac{u}{2}}.

 Nej, jag syftade på den integrerande faktorn i näst sista steget. Den med den positiva exponenten (istället för negativa), eu2. Allstå vad händer mellan steg 6 och 7?

EDIT: Ignorera min kommentar haha. Det är jag som är dum i huvudet. Du multiplicerar med eu2 för att bli av med e-u2 i vänsterledet. Ibland tänker jag inte med huvudet...

AlvinB 3163
Postad: 12 feb 2019
Nide skrev:
AlvinB skrev:

Den integrerande faktorn kommer ju av att vi tar e upphöjt till den primitiva funktionen av faktorn framför zz. I detta fallet står det -12-\frac{1}{2} framför zz, och alltså får vi e-u2e^{-\frac{u}{2}}.

 Nej, jag syftade på den integrerande faktorn i näst sista steget. Den med den positiva exponenten (istället för negativa), eu2. Allstå vad händer mellan steg 6 och 7?

EDIT: Ignorera min kommentar haha. Det är jag som är dum i huvudet. Du multiplicerar med eu2 för att bli av med e-u2 i vänsterledet. Ibland tänker jag inte med huvudet...

 Det händer oss alla. :-)

Förresten, jag blir lite nyfiken, vad har du för metod för att få fram 4z''uv+2z'v4z''_{uv}+2z'_v? Jag använde kedjeregeln, men det tog en och en halv A4 med beräkningar...

Nide 116
Postad: 12 feb 2019
AlvinB skrev:
Nide skrev:
AlvinB skrev:

Den integrerande faktorn kommer ju av att vi tar e upphöjt till den primitiva funktionen av faktorn framför zz. I detta fallet står det -12-\frac{1}{2} framför zz, och alltså får vi e-u2e^{-\frac{u}{2}}.

 Nej, jag syftade på den integrerande faktorn i näst sista steget. Den med den positiva exponenten (istället för negativa), eu2. Allstå vad händer mellan steg 6 och 7?

EDIT: Ignorera min kommentar haha. Det är jag som är dum i huvudet. Du multiplicerar med eu2 för att bli av med e-u2 i vänsterledet. Ibland tänker jag inte med huvudet...

 Det händer oss alla. :-)

Förresten, jag blir lite nyfiken, vad har du för metod för att få fram 4z''uv+2z'v4z''_{uv}+2z'_v? Jag använde kedjeregeln, men det tog en och en halv A4 med beräkningar...

 Kedjeregeln japp. Tog en hel A4 för mig också. Därför gillar jag inte att göra transformationer av andraderivator haha.

Svara Avbryt
Close