7 svar
104 visningar
K.Ivanovitj 399
Postad: 28 jan 2018 17:18

differentialekvation

Hej

jag förstår inte riktigt hur man ska lösa följande differentialekvation:

y'+2y=1

jag började med att ta primitiven till 2y som är y2 och bilda funktionen ex2

Svaret ska bli y=12+Ce-2x

Vad ska vara nästa steg efter att man tagit fram primitiven till 2y? 

pi-streck=en-halv 497
Postad: 28 jan 2018 18:03 Redigerad: 28 jan 2018 18:05

Du använder alltså metoden Integrerande faktor.

Och det är en primitiv till funktionen framför y som du ska beräkna.

g(x) = 2, så G(x) = 2x

Sedan ska du multiplicera VL och HL med e^2x, och så kan du följa metoden i länken.

K.Ivanovitj 399
Postad: 28 jan 2018 19:44

okej jag förstår det mesta men hur ska man få -2x i exponenten? jag får bara 2x

Absolutbeloppet 54
Postad: 28 jan 2018 20:44 Redigerad: 28 jan 2018 20:48

Detta är en differentialekvation av första ordningen, man ansätter då vanligtvis en funktion som i vårt fall blir y=Ce^-2x+d där C kan lösas ut ifall vi har ett villkor och D är beroende av vad som står i högerledet (Då vi har ett inhomogent differentialekvation, HL är inte ekvivalent med noll). Anledningen till varför vi får att exponenten blir till -2x är beroende på siffran som står framför y i differentialekvationen. Detta förklaras utförligt här https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/differentialekvationer/inhomogena-differentialekvationer. 

pi-streck=en-halv 497
Postad: 28 jan 2018 22:17 Redigerad: 28 jan 2018 22:40

 

e2xy'+e2x2y=e2x e^{2x}y' +e^{2x} 2y= e^{2x}

(e2xy)'=e2x (e^{2x}y)' = e^{2x} (produktregeln baklänges)

e2xy=e2xdx+C e^{2x}y = \int e^{2x} dx + C

 

e2xy=(1/2)e2x+C e^{2x}y = (1/2) e^{2x} + C

Lös sedan ut y.

K.Ivanovitj 399
Postad: 29 jan 2018 11:46

jag försökte lösa den som en inhomogen differentialekvation och förstår nu hur man får -2x. Då man ska göra den andra delen av lösningen dvs partikulärlösningen ska man sätta ax+b men när man inte har något x-värde i HL hur ska man göra då? eftersom jag på något sätt måste få ut 1/2 eller är det bara att ta primitiven till e2x=12e2x ?

pi-streck=en-halv 497
Postad: 29 jan 2018 12:58

Om du ansätter 

y = ax+b

Så får du beräkna y'=a 

och sedan stoppa in detta i vänsterledet

y'+2y=a+2(ax+b)=a+2b + 2ax=1

Detta ska gälla för alla x, så a måste vara 0.

Och b=1/2

Absolutbeloppet 54
Postad: 29 jan 2018 20:26 Redigerad: 29 jan 2018 20:27

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ICKE_HOM_LIN_DIF_EKV.pdf här förklaras det väldigt utförligt hur man ansätter termer beroende på HL. I vårt fall har vi enbart konstanter i högerledet och då kan du ansätta konstanten A.

Svara Avbryt
Close