Differentialekvation i första grad

Jag har fått helt hjärtsläpp!

Hur var det man löste här?

2y'+y=x²

 

y_{(partikulär)}

y=ax²+bx+c                y’=2ax+b

2y’+y=x²

2(2ax+b)+ax²+bx+c=x²+x*0+0

4ax+4b+ax²+bx+c= x²+x*0+0

ax²+4ax+bx+4b+c= x²+x*0+0

                   

ax²= x²               4ax+bx=x*0                  4b+c=0

a=1                     4*1x+bx=0                    4*4+c=0

                                        bx=4x                 16+c=0

                                        b=4                      c=-16

y_{(partikulär)}=x²+4x-16

 

y(homogen)=

2y’+y=0 --> y'+$\frac{1}{2}$y=0

y_(homogen)=C*e^-(1/2)x

y _(homogen)=C*e^(-1/2)x

 

y= y(partikulär)+ y(homogen)= C*e^((-1/2)x)+ x²+4x-16

 

Begynnelsevilkor (-1;-3)

$\left\{\begin{array}{l}y(-1)= C*e^{-(1/2)x}+ x^2+4x-16\\ y(-1)=-3\end{array}\right.$

 

C*e^{((-1/2)*(-1))}+ (-1)²+4*(-1)-16=-3

C*e^{((-1/2)*(-1))}=16

C=$\frac{16}{e^{1/2}}$

 

y=$\frac{16}{e^{1/2}}\times e^{-\frac{1}{2}x}+x^2+4x-16$

 

Är det rätt såsom jag har gjort?