Differentialekvation med begynnelsevillkor

Jag ska lösa differentialekvationen: y´´+ 4y = 8 med begynnelsevillkoren: y(0) = 1 och y'(0) = 2 pi 

Detta är vad jag gjort: 

y'' + 4y = 0 

r^2 + 4 = 0 --> r = +- 2i 

yh (x) = C1 Cos (2x) + C2 sin (2x)

y'' + 4y = 8 

yp = A --> y'' p = 0 

0 + 4A = 8 --> A = 2

yp = 2

y (x) = C1 Cos (2x) + C2 Sin (2x) + 2

Villkor y(0) = 1 : 

y (0) = C1 Cos (0) + C2 sin(0) + 2 = C1 + 0 +2 + 1 --> C1 = -1 

Villkor y' (0) = 2 pi: 

y'(x) = -2C1 Sin (2x) + 2C2 cos (2x) 

x = 0 ger 

y'(0) = -2C1 * 0 + 2C2 * 1 = 2C2

2C2 =2 pi => C2 = pi

Lösningen: y(x) = -cos (2x) + pi sin (2x) + 2