21 svar
750 visningar
Linn behöver inte mer hjälp
Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 14 nov 2019 10:57

Differentialekvation med y i nämnaren

Hej!

Jag knäcker inte denna nöt och behöver hjälp..

Differentialekvationen 

y'+4x/y=4

har begynnelsevillkoret y(0)=4

Jag ska lösa y(2)

Min tankegång ser ut som följande:

yh=Ce-4x/y

yp=y'-4x/y  där jag sätter in yp=a som ger:

0+4/a2=4

a2=1

a=1

yh+yc= Ce-4x/y+1

Jag sätter in begynnelsevillkoret y(0)=4 och får att C=3. Här är jag dock osäker på om y i exponenten verkligen kan försvinna bara sådär? Miniräknaren säger det.

Vidare får jag att ekvationen ser ut som följande:

y= 3e-4x/y+1

Jag sätter in x=2 och får att y(2)=3,76

Stämmer verkligen detta?

Mycket tacksam för hjälp!

Laguna 30613
Postad: 14 nov 2019 16:00 Redigerad: 14 nov 2019 16:15

Stämmer verkligen din homogena lösning?

Nu måste jag fråga om du menar y' + 4x/y eller om du menar (y' + 4x)/y.

SvanteR 2749
Postad: 14 nov 2019 16:39
Laguna skrev:

Stämmer verkligen din homogena lösning?

Nu måste jag fråga om du menar y' + 4x/y eller om du menar (y' + 4x)/y.

Bra fråga!

Jag är väldigt rostig på att lösa diffekvationer, men om någon kan lösa y' + 4x/y med villkoret y(0)=4 så vill jag hemskt gärna se den lösningen, för jag har glömt hur man gör/aldrig lärt mig. Kommer man ens till en explicit lösning?

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 08:34

Laguna, det står y'-4x/y.

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 08:40

Inser nu att jag skrivit fel. Det ska ju vara minustecken och inte plus. 

Men påverkar det själva lösningen? 

Jag tycker ändå att det är svårt.

Y=Ce^(4x/y)

Y -> y'-4x/y=0 ger 

y'=0 och y=a 

0-4x/a=4

a=-x 

Gör jag något fel här?

Laguna 30613
Postad: 15 nov 2019 08:54
Linn skrev:

Inser nu att jag skrivit fel. Det ska ju vara minustecken och inte plus. 

Men påverkar det själva lösningen? 

Jag tycker ändå att det är svårt.

Y=Ce^(4x/y)

Y -> y'-4x/y=0 ger 

y'=0 och y=a 

0-4x/a=4

a=-x 

Gör jag något fel här?

Vad får du när du deriverar Ce^(4x/y)?

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 09:11 Redigerad: 15 nov 2019 09:12

Jag tänkte 4x/y

Men jag inser att det blir 4/y. Eller är jag ute och cyklar? Jag tycker att det är svårt att derivera kvoter.

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 09:24

Fast det spelar ju ingen roll om jag skriver 4/y eller 4x/y. När jag deriverar y=Ce^((4/y)*x) får jag ju samma sak: 

Derivata y=Ce^4x/y

Primitiv funktion y= 4x/y-4x/y 

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 10:44

Vi har ett problem här. y=y(x)y=y(x).

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 11:50

Hur menar du?

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 12:02

t ex  hur deriveras  xy\dfrac{x}{y}?

SvanteR 2749
Postad: 15 nov 2019 12:04

Får man fråga var du har hittat uppgiften? Står den i en lärobok för matte 5? Om inte, var kommer den ifrån, och kan du fota den eller ta en screenshot?

Jag undrar för att jag inte förstår hur man ska kunna lösa den med de metoder som ingår i Ma5.

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 13:53

Jag vet inte hur jag deriverar x/y. Hur gör jag? 

Uppgiften kommer från kursen matte 5 i Hermods egna uppgifter

Laguna 30613
Postad: 15 nov 2019 14:05
Linn skrev:

Jag vet inte hur jag deriverar x/y. Hur gör jag? 

Uppgiften kommer från kursen matte 5 i Hermods egna uppgifter

Du kan se x/y som x·1yx \cdot \frac{1}{y} och använda produktregeln.

SvanteR 2749
Postad: 15 nov 2019 14:07

När man börjar lära sig derivera funktioner där y är en funktion av x (dvs y=y(x) som dr_lund skrev) så skriver man dem alltid så att y står ensamt på ena sidan likhetstecknet. På andra sidan likhetstecknet finns bara x. Till exempel:

y=x2+3x-10y=sin(x)

Men ibland kan man inte göra det. Till exempel är har du y på båda sidor av likhetstecknet i din ekvation, y=Ce^4x/y

Om du inte kan skriva din ekvation så att du får y helt ensamt på ena sidan likhetstecknet måste man använda en teknik som kallas implicit derivering. Där deriverar man både VL och HL för att få en ny ekvation:

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/GU/L9MA20/V17-1/implicit.pdf

Den lärs ibland ut i Ma5, men många stöter på den för första gången på universitetsnivå. Om du inte har fått lära dig om den kommer du inte att kunna derivera din ekvation.

SvanteR 2749
Postad: 15 nov 2019 14:09
Laguna skrev:
Linn skrev:

Jag vet inte hur jag deriverar x/y. Hur gör jag? 

Uppgiften kommer från kursen matte 5 i Hermods egna uppgifter

Du kan se x/y som x·1yx \cdot \frac{1}{y} och använda produktregeln.

Det kan man ju, men hur lätt är det att bara göra det om man aldrig har kommit i kontakt med implicit derivering tidigare...

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 nov 2019 14:10

Ingår separabla diffekvationer i din kurs? I boken Matematik 5000 finns det med i boken trots att det inte ingår i kursen Ma5.

SvanteR 2749
Postad: 15 nov 2019 14:21

Jag blottar min okunskap igen och ställer frågan till era andra som svarar Linn (dvs Smaragdalena, Laguna och dr_lund), kan ni lösa den här differentialekvationen?

Jag är som sagt rostig och har aldrig varit särskilt bra på differentialekvationer, så det kan säkert finnas ett relativt enkelt sätt som jag missar, men när jag försöker ge mig på den går jag vilse i ett träsk av substitutioner (z=y/x) och svåra rationella  integraler, och misslyckas till sist med att hitta en explicit lösning. Är den så svår är den ju helt fel för Ma5, men jag kanske är helt fel på det? Ser ni en lösningsmetod som är adekvat för Ma5?

Laguna 30613
Postad: 15 nov 2019 14:31
SvanteR skrev:

Jag blottar min okunskap igen och ställer frågan till era andra som svarar Linn (dvs Smaragdalena, Laguna och dr_lund), kan ni lösa den här differentialekvationen?

Jag är som sagt rostig och har aldrig varit särskilt bra på differentialekvationer, så det kan säkert finnas ett relativt enkelt sätt som jag missar, men när jag försöker ge mig på den går jag vilse i ett träsk av substitutioner (z=y/x) och svåra rationella  integraler, och misslyckas till sist med att hitta en explicit lösning. Är den så svår är den ju helt fel för Ma5, men jag kanske är helt fel på det? Ser ni en lösningsmetod som är adekvat för Ma5?

Jag försökte lite halvhjärtat, men kom ingen vart.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2019 21:05

Ekvationer av denna typ (dvs Riccati o likn icke- linjära diffekv) löses oftast med ett variabelbyte, som har till uppgift att linearisera den icke-linjära ODE:n.

Pratar vi om Riccati, är detta definitivt ett problem på univ nivå, fortsättningskurser. Jag anser vi avrundar denna tråd och kritiserar Hermods förlag för icke relevanta problem för nivån Matematik 5.

tomast80 4245
Postad: 15 nov 2019 21:39

De frågar inte efter y(x)y(x) utan bara ett värde: y(2)y(2). Därför känns det naturligt att lösa den numeriskt, förslagsvis med Eulers stegmetod, se exempel här: https://www.pluggakuten.se/trad/eulers-stegmetod-1/

Linn 77 – Fd. Medlem
Postad: 17 nov 2019 21:57 Redigerad: 17 nov 2019 21:57

Tomas har helt rätt. Uppgiften går att lösa med Eulers stegmetod.

Svara
Close