Differentialekvation med y i nämnaren

Stämmer verkligen din homogena lösning?

Nu måste jag fråga om du menar y' + 4x/y eller om du menar (y' + 4x)/y.

Laguna skrev:

Stämmer verkligen din homogena lösning?

Nu måste jag fråga om du menar y' + 4x/y eller om du menar (y' + 4x)/y.

Bra fråga!

Jag är väldigt rostig på att lösa diffekvationer, men om någon kan lösa y' + 4x/y med villkoret y(0)=4 så vill jag hemskt gärna se den lösningen, för jag har glömt hur man gör/aldrig lärt mig. Kommer man ens till en explicit lösning?

Laguna, det står y'-4x/y.

Inser nu att jag skrivit fel. Det ska ju vara minustecken och inte plus. 

Men påverkar det själva lösningen? 

Jag tycker ändå att det är svårt.

Y=Ce^(4x/y)

Y -> y'-4x/y=0 ger 

y'=0 och y=a 

0-4x/a=4

a=-x 

Gör jag något fel här?

Linn skrev:

Inser nu att jag skrivit fel. Det ska ju vara minustecken och inte plus. 

Men påverkar det själva lösningen? 

Jag tycker ändå att det är svårt.

Y=Ce^(4x/y)

Y -> y'-4x/y=0 ger 

y'=0 och y=a 

0-4x/a=4

a=-x 

Gör jag något fel här?

Vad får du när du deriverar Ce^(4x/y)?

Jag tänkte 4x/y

Men jag inser att det blir 4/y. Eller är jag ute och cyklar? Jag tycker att det är svårt att derivera kvoter.

Fast det spelar ju ingen roll om jag skriver 4/y eller 4x/y. När jag deriverar y=Ce^((4/y)*x) får jag ju samma sak: 

Derivata y=Ce^4x/y

Primitiv funktion y= 4x/y-4x/y 

Vi har ett problem här. $y=y(x)$.

Hur menar du?

t ex  hur deriveras  $\dfrac{x}{y}$?

Får man fråga var du har hittat uppgiften? Står den i en lärobok för matte 5? Om inte, var kommer den ifrån, och kan du fota den eller ta en screenshot?

Jag undrar för att jag inte förstår hur man ska kunna lösa den med de metoder som ingår i Ma5.

Jag vet inte hur jag deriverar x/y. Hur gör jag? 

Uppgiften kommer från kursen matte 5 i Hermods egna uppgifter

Linn skrev:

Jag vet inte hur jag deriverar x/y. Hur gör jag? 

Uppgiften kommer från kursen matte 5 i Hermods egna uppgifter

Du kan se x/y som $x \cdot \frac{1}{y}$ och använda produktregeln.

När man börjar lära sig derivera funktioner där y är en funktion av x (dvs $y=y\left(x\right)$ som dr_lund skrev) så skriver man dem alltid så att y står ensamt på ena sidan likhetstecknet. På andra sidan likhetstecknet finns bara x. Till exempel:

$$\begin{gathered} y=x^2+3x-10 \\ y=\sin \left(x\right) \end{gathered}$$

Men ibland kan man inte göra det. Till exempel är har du y på båda sidor av likhetstecknet i din ekvation, y=Ce^4x/y

Om du inte kan skriva din ekvation så att du får y helt ensamt på ena sidan likhetstecknet måste man använda en teknik som kallas implicit derivering. Där deriverar man både VL och HL för att få en ny ekvation:

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/GU/L9MA20/V17-1/implicit.pdf

Den lärs ibland ut i Ma5, men många stöter på den för första gången på universitetsnivå. Om du inte har fått lära dig om den kommer du inte att kunna derivera din ekvation.

Laguna skrev:

Linn skrev:

Jag vet inte hur jag deriverar x/y. Hur gör jag? 

Uppgiften kommer från kursen matte 5 i Hermods egna uppgifter

Du kan se x/y som $x \cdot \frac{1}{y}$ och använda produktregeln.

Det kan man ju, men hur lätt är det att bara göra det om man aldrig har kommit i kontakt med implicit derivering tidigare...

Ingår separabla diffekvationer i din kurs? I boken Matematik 5000 finns det med i boken trots att det inte ingår i kursen Ma5.

Jag blottar min okunskap igen och ställer frågan till era andra som svarar Linn (dvs Smaragdalena, Laguna och dr_lund), kan ni lösa den här differentialekvationen?

Jag är som sagt rostig och har aldrig varit särskilt bra på differentialekvationer, så det kan säkert finnas ett relativt enkelt sätt som jag missar, men när jag försöker ge mig på den går jag vilse i ett träsk av substitutioner (z=y/x) och svåra rationella  integraler, och misslyckas till sist med att hitta en explicit lösning. Är den så svår är den ju helt fel för Ma5, men jag kanske är helt fel på det? Ser ni en lösningsmetod som är adekvat för Ma5?

SvanteR skrev:

Jag blottar min okunskap igen och ställer frågan till era andra som svarar Linn (dvs Smaragdalena, Laguna och dr_lund), kan ni lösa den här differentialekvationen?

Jag är som sagt rostig och har aldrig varit särskilt bra på differentialekvationer, så det kan säkert finnas ett relativt enkelt sätt som jag missar, men när jag försöker ge mig på den går jag vilse i ett träsk av substitutioner (z=y/x) och svåra rationella  integraler, och misslyckas till sist med att hitta en explicit lösning. Är den så svår är den ju helt fel för Ma5, men jag kanske är helt fel på det? Ser ni en lösningsmetod som är adekvat för Ma5?

Jag försökte lite halvhjärtat, men kom ingen vart.

Ekvationer av denna typ (dvs Riccati o likn icke- linjära diffekv) löses oftast med ett variabelbyte, som har till uppgift att linearisera den icke-linjära ODE:n.

Pratar vi om Riccati, är detta definitivt ett problem på univ nivå, fortsättningskurser. Jag anser vi avrundar denna tråd och kritiserar Hermods förlag för icke relevanta problem för nivån Matematik 5.

De frågar inte efter $y(x)$ utan bara ett värde: $y(2)$. Därför känns det naturligt att lösa den numeriskt, förslagsvis med Eulers stegmetod, se exempel här: https://www.pluggakuten.se/trad/eulers-stegmetod-1/

Tomas har helt rätt. Uppgiften går att lösa med Eulers stegmetod.