20 svar
143 visningar
MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021

Differentialekvation Mekanik 1

Hej!

Jag hittade en uppgift i min Mekanik bok och blev väldigt fundersam. Har fått ett problem där man ska ställa upp kulans lägevektor, hastighetsvektor och accelerationsvektor. Sedan skan man även ställa upp en användbar differentialekvation för ξ(t). Jag har absolut ingen aning hur man ska gå tillväga här så om någon har en lösning eller någon hjälp hade det verkligen varit uppskattat. 

 

Står även i uppgiften "Även om differentialekvationen i uppgift 2 ovan inte är lösbar ”med papper och penna” (analytiskt lösbar) så kan man ändå lösa den numeriskt."

 

Ebola 2046
Postad: 23 feb 2021 Redigerad: 23 feb 2021

Det är oklart vad uppgiften faktiskt är men rörelseekvationen tas nog enklast fram genom att derivera total energi för systemet.

Edit: Annars är antagligen en Lagrangiansk formulering mest lämplig.

MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021
Ebola skrev:

Det är oklart vad uppgiften faktiskt är men rörelseekvationen tas nog enklast fram genom att derivera total energi för systemet.

Edit: Annars är antagligen en Lagrangiansk formulering mest lämplig.

uppgiften är att ta fram kulans lägesvektor, hastighetsvektor och accelerationsvektor. Man ska även ställa upp en differentialekvation för ξ(t). Har försökt ett antal gånger men vi har endast gjort detta i 2D plan och med lite vägledning. Har aldrig sett något liknande ://

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021

Vilka förkunskaper har du?

Känner du till hur man analyserar rörelse i rörliga koordinatsystem?

Känner du till d’Alemberts princip eller virtuellt arbete?

Känner du till metoden med Lagrange-funktioner?

Känner du till Kanes metod?

PATENTERAMERA skrev:

Vilka förkunskaper har du?

Känner du till hur man analyserar rörelse i rörliga koordinatsystem?

Känner du till d’Alemberts princip eller virtuellt arbete?

Känner du till metoden med Lagrange-funktioner?

Känner du till Kanes metod?

Oj vad jag blir suktad.

(Lagrangefunktioner i mekanik1 tror jag inte...)

MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021
PATENTERAMERA skrev:

Vilka förkunskaper har du?

Känner du till hur man analyserar rörelse i rörliga koordinatsystem?

Känner du till d’Alemberts princip eller virtuellt arbete?

Känner du till metoden med Lagrange-funktioner?

Känner du till Kanes metod?

Att analysera rörelse i koordinatsystem ja, i rörliga koordinatsystem nej. d’Alemberts formel ser mycket bekant ut och har gjort mycket liknande. Resterande har jag inte sett. Med den lilla förkunskaper jag sitter på ska vi ha tillräckligt för att beräkna det de vill veta.

Ebola 2046
Postad: 23 feb 2021

Jag tror att du bör ta dig en funderare på vad som händer innan du börjar räkna, i så fall. Så att du får en känsla för hur du ska ställa upp differentialekvationen. 

  • Hur skulle du göra om den inte roterade?
  • Vad händer om du beskriver rörelsen för ett koordinatsystem som följer med rotationen?
    • Hur skiljer sig detta från ett inertialsystem?
  • Vad händer om funktionen är z=f(ξ)=0z=f(\xi) = 0 (om röret alltså bara ligger plant på disken)?

Du kan läsa denna länk för intuition:

Particle gently kept on a frictionless groove

När det kommer till vektorbeskrivningen sedan rör det sig i min mening enbart om att använda Newton-Eulers ekvationer i cylindriska koordinater men jag kan ha fel.

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021

Börja med att införa ett fixt koordinatsystem med koordinater x, y och z.

Hur uttrycker du koordinaterna i detta fixa koordinatsystem för en punkt som har koordinaterna (ξ, η, z) i det koordinatsystem som följer med skivan?

(x, y, z) = ξ(cosωt, sinωt, 0) + η(-sinωt, cosωt, 0) + z(0, 0, 1), eller med matriser

xyz  = c-s0sc0001ξηz.

Där c = cosωt och s = sinωt.

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021

vxvyvz = ddtxyz =ddtc-s0sc0001ξηzω-s-c0c-s0000ξηz+c-s0sc0001ξ˙η˙z˙

MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021 Redigerad: 23 feb 2021
PATENTERAMERA skrev:

Börja med att införa ett fixt koordinatsystem med koordinater x, y och z.

Hur uttrycker du koordinaterna i detta fixa koordinatsystem för en punkt som har koordinaterna (ξ, η, z) i det koordinatsystem som följer med skivan?

(x, y, z) = ξ(cosωt, sinωt, 0) + η(-sinωt, cosωt, 0) + z(0, 0, 1), eller med matriser

xyz  = c-s0sc0001ξηz.

Där c = cosωt och s = sinωt.

hmmm...
Lägesvektor bör väl isåfall vara r(t) = ξ (cosωt, sinωt, 0) + η(-sinωt, cosωt, 0) + z(0, 0, f(ξ))? man får fram hur mycket skivan vridits + att man ser vart kulan befinner sig höhdmässigt. Isåfall är väl v(t) = r'(t) och a(t) = v'(t) om jag förstår korrekt?

 

EDIT: eller hmmm det kanske inte funkar så nej... om ex z = 1 skulle det kunna vara på ena eller andra sidan... Var också lite fundersam i formeln, varför -sin istället för sin?

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021

Tänkte vara lite allmän i början. Sedan har vi speciellt att η = 0 och att z = f(ξ) i vårat problem. Men jag tänkte att det kan man införa senare när man har tagit fram generella formler, som en övning.

Tänk så här. Sätt alla koordinater (i det roterande koordinatsystemet) till noll utom tex η. Hur bör formeln se ut då? Upprepa för de andra koordinaterna.

MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021
PATENTERAMERA skrev:

vxvyvz = ddtxyz =ddtc-s0sc0001ξηzω-s-c0c-s0000ξηz+c-s0sc0001ξ˙η˙z˙

Då hade jag tänkt rätt där iallafall. Om jag sedan vill få ut a(t) är det väl bara att derivera det nya uttrycket? 

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021 Redigerad: 23 feb 2021

Ja. Det kan även vara värt att ta en titt på hur vektorernas komponenter ser ut i det roterande koordinatsystemet.

Tex om vi vill se vilka komponenterna hos hastighetsvektorn blir i det roterande koordinatsystemet så kan vi beräkna det enligt

vξvηvz = c-s0sc0001-1vxvyvz=cs0-sc0001vxvyvz =...= ξ˙η˙z˙+ ω -ηξ0.

Så mycket enklare uttryck.

MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021
PATENTERAMERA skrev:

Ja. Det kan även vara värt att ta en titt på hur vektorernas komponenter ser ut i det roterande koordinatsystemet.

Tex om vi vill se vilka komponenterna hos hastighetsvektorn blir i det roterande koordinatsystemet så kan vi beräkna det enligt

vξvηvz = c-s0sc0001-1vxvyvz=cs0-sc0001vxvyvz =...= ξ˙η˙z˙+ ω -ηξ0.

Så mycket enklare uttryck.

Nu hänger jag nog inte riktigt med på hur du menar eller vad du gjorde. 

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021

OK om du har två kartesiska koordinatsystem så transformeras vektorers komponenter på samma sätt som koordinaterna.

Tex om vi har en vektor u så kan denna vektor beskrivas med komponenter relativt x/y/z-systemet eller relativt ξ/η/z-systemet. Transformationen är den samma som för koordinaterna, dvs

uxuyuz=c-s0sc0001uξuηuz, och vi kan invertera detta uttryck och får då

uξuηuz=c-s0sc0001-1uxuyuz=cs0-sc0001uxuyuz

Sedan tillämpar jag helt enkelt denna formel på hastighetsvektorn, som alltså har ett mycket enklare utseende i det roterande koordinatsystemet.

MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021
PATENTERAMERA skrev:

OK om du har två kartesiska koordinatsystem så transformeras vektorers komponenter på samma sätt som koordinaterna.

Tex om vi har en vektor u så kan denna vektor beskrivas med komponenter relativt x/y/z-systemet eller relativt ξ/η/z-systemet. Transformationen är den samma som för koordinaterna, dvs

uxuyuz=c-s0sc0001uξuηuz, och vi kan invertera detta uttryck och får då

uξuηuz=c-s0sc0001-1uxuyuz=cs0-sc0001uxuyuz

Sedan tillämpar jag helt enkelt denna formel på hastighetsvektorn, som alltså har ett mycket enklare utseende i det roterande koordinatsystemet.

så att om jag förstår det rätt, det slutliga uttrycket där är hastighetsvektorn v(t) i det rörliga planet? och i så fall varför inverterar man uttrycket istället för att derivera, så som jag trodde att man gick tillväga? Om hastighetsvektorn ser ut sådär, får man inte a(t) genom derivering då heller?  

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021 Redigerad: 23 feb 2021

Jo. Du kan räkna ut accelerationen genom derivering. Derivera det uttryck som vi hade tidigare (se nedan). Då får du komponenterna i x/y/z-systemet av accelerationen. Sedan kan du använda transformationslagen som jag visade tidigare för att ta fram accelerationens komponenter i det roterande koordinatsystemet.

MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021
PATENTERAMERA skrev:

Jo. Du kan räkna ut accelerationen genom derivering. Derivera det uttryck som vi hade tidigare (se nedan). Då får du komponenterna i x/y/z-systemet av accelerationen. Sedan kan du använda transformationslagen som jag visade tidigare för att ta fram accelerationens komponenter i det roterande koordinatsystemet.

tack för all hjälp. det är verkligen uppskattat och ursäkta min okunnighet hehe. Försöker sist att skriva ut r(t), v(t) och a(t) som uttryck för att skriva in i Mathematica, finns det något lätt sätt att göra det? Blir väldigt fel...

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021 Redigerad: 23 feb 2021

Du bör få

axayaz= ω2-cs0-s-c0000ξηz+2ω-s-c0c-s0000ξ˙η˙z˙+c-s0sc0001ξ¨η¨z¨.

Vad blir

aξaηaz?

MarkusL 30
Postad: 23 feb 2021
PATENTERAMERA skrev:

Du bör få

axayaz= ω2-cs0-s-c0000ξηz+2ω-s-c0c-s0000ξ˙η˙z˙+c-s0sc0001ξ¨η¨z¨.

Vad blir

aξaηaz?

Yes, det blir korrekt nu tillslut. Tack så otroligt mycket för hjälpen. Ska inte ta upp mer tid av din kväll så ska försöka lösa resten själv. Tack så mycket!!!

PATENTERAMERA 2155
Postad: 23 feb 2021 Redigerad: 23 feb 2021

OK.

Efter viss möda fick jag i alla fall fram diffekvationen

1+dfdξ2ξ¨+dfdξd2fdξ2ξ˙2+gdfdξ-ω2ξ=0.

Hoppas någon annan kan bekräfta.

Svara Avbryt
Close