12 svar
125 visningar
Fleetstreet är nöjd med hjälpen
Fleetstreet 181
Postad: 14 maj 2022 14:09

Differentialekvationer

Hej!

 

Jag ska hitta ett gissning för "f(x)" utifrån denna differentialekvationen y’’-2y’+3y=6sin(3x)-6cos(3x).

Jag är lite osäker på vad jag ska testa med. Det jag har kommit fram till utifrån boken är antingen y=asin3x+bcos3x eller y=asin3x+bcos3x-ccos3x-dsin3x men jag vet verkligen inte hur jag ska "gissa" mig fram till ett relevant värde. Skulle också uppskatta om några tips på den fronten. 

Moffen 1873
Postad: 14 maj 2022 14:14

Hej!

Du skall ansätta den första versionen, dvs. yx=asin3x+bcos3xy\left(x\right)=a\sin\left(3x\right)+b\cos\left(3x\right), eftersom ditt andra förslag är lika med det första förslaget. Det kan du ser genom att asin3x-dsin3x=a-dsin3xa\sin\left(3x\right)-d\sin\left(3x\right)=\left(a-d\right)\sin\left(3x\right). Men eftersom a-da-d bara är en konstant som skall bestämmas kan du lika gärna bara kalla den för aa.

Sen ska du inte behöva gissa dig fram till värdena på aa och bb. Det du gör är att du sätter in din ansats i differentialekvationen, och sen ska vänsterledet vara lika med högerledet för alla xx. Alltså kommer du antagligen att få ett ekvationssystem för aa och bb.

Fleetstreet 181
Postad: 17 maj 2022 17:28

Jag har kommit fram till detta...

"y’’-2y’+3y=6sin(3x)-6cos(3x)


I differentialekvationen testar jag att sätta in 

y=asin(3x)+bcos(3x)=

y’=3acos(3x)-3bsin(3x)=

=-3(bsin(3x)-acos(3x))

y’’=-3(3asin(3x)+3bcos(3x))=

=-9(asin(3x)+bcos(3x))

 

Då får jag:

(-9(asin(3x)+bcos(3x)))-2(-3(bsin(3x)-acos(3x)))+3(asin(3x)+bcos(3x))=

=6sin(3x)-6cos(3x)


Sedan bestäms a och b med hjälp av algebraisk metod. 

 

6sin(3x)-6cos(3x)=HL=

=(-9(asin(3x)+bcos(3x)))-2(-3(bsin(3x)-acos(3x)))+3(asin(3x)+bcos(3x))=

-9asin(3x)+-9bcos(3x)-6bsin(3x)+2acos(3x)+3asin(3x)+3bcos(3x)=

=-6asin(3x)-6bcos(3x)-6bsin(3x)+2acos(3x)=

=(-6a+6b)sin(3x)+(2a-6b)cos(3x)


(-6a+6b)sin(3x)+(2a-6b)cos(3x)=6sin(3x)-6cos(3x)   


Jag antar att a=0 och b=1 och stoppar in det i ekvationen:

(-6(0)+6(1))sin(3x)+(2(0)-6(1)cos(3x)=

=6sin(3x)-6cos(3x)=HL


Därefter verifieras resultatet; a=0 och b=1 sätts in i ekvationen:


(-9((0)sin(3x)+(1)cos(3x)))-2(-3(1)sin(3x)-(0)cos(3x)))+3((0)sin(3x)+(1)cos(3x))=-9cos(3x)+6sin(3x)+3cos(3x))=

=-6cos(3x)+6sin(3x)=

=HL

 

Värdena sätts in i den antagna lösningen y=asin(3x)+bcos(3x):

 

Alltså yp=0sin(3x)+1cos(3x)


Sedan beräknas värdet på r i den karaktäristiska ekvationen för y’’-2y’+3y, 

alltså r2-2r+3=0:


Pq-formeln används…

r=1±√((1)2-3=

=r=1±√(1-3)=

=r=1±√(-2)"

 

Stämmer det jag har beräknat? Jag undrar sedan hur jag skriver den homogena lösningen med 1±√(-2)?

Micimacko 4070
Postad: 17 maj 2022 22:35

Du kan inte ta roten ur negativa tal.

Sätt upp realdelen på ett e och im-delar blir sin/cos, så e^1x*(Asin(rot(2)x)+Bcos(rot(2)x))

Fleetstreet 181
Postad: 18 maj 2022 09:33

Jag förstår inte riktigt vad du menar? Det var ett tag sedan jag läste om komplexa tal. Kan du skriva det som tal istället för ord? 

Micimacko 4070
Postad: 18 maj 2022 10:14

Jag skrev ju ut hela svaret? Realdelen i dina rötter är 1 och imaginärdelen +-rot(2). Ser du vart de är instoppade?

Fleetstreet 181
Postad: 18 maj 2022 11:06

Blir det alltså Yh=e1∙x*(asin(√(2)∙x)+bcos(√(2)∙x)? Är det så att när jag får ett imaginärt tal när jag beräknar rötterna så ska jag sätta in det som yh=ereal∙x*(asin(imaginär∙x)+bcos(imaginär∙x)? Och om det som i detta fall är ett negativt tal under rottecknet så ska jag skriva det som positivt i denna formel? Jag kan se vart real-och imaginärdelen är instoppade :)

Micimacko 4070
Postad: 18 maj 2022 11:12 Redigerad: 18 maj 2022 11:15

Den stora parentesen med sin och  cos är inte upphöjd, men annars ja. Komplexa lösningar kommer alltid i par om själva ekvationen är reell, så du behöver aldrig bry dig om tecken där. Det blir samma lösning om du hade bytt till -rot(2), men med andra A och B bara.

Det hela är en omskrivning av e^(x+rot(2)ix)=e^x*e^(rot(2)ix) där den andra faktorn är omskriven med eulers formler så det följer egentligen samma mönster som vanliga rötter.

Micimacko 4070
Postad: 18 maj 2022 11:17

Angående roten så skriver man inte roten ur om det är negativt, ta bort minuset och ta roten gånger i istället direkt.

Fleetstreet 181
Postad: 18 maj 2022 11:27

Okej nu tror jag att jag är med! Jag behövde verkligen en påminnelse om komplexa tal för denna uppgift, tack så mycket.

Jag har skrivit såhär nu...

Stämmer det?

Micimacko 4070
Postad: 18 maj 2022 11:36

I princip.

Om man ska vara petig så behöver du ha med båda rötter när det står på e-form, och konstanter framför, precis som du hade ställt upp det reellt.

H i yh står för homogen lösning. Den allmänna är y=yh+yp

Sen brukar man kalla det förenkling när man tar bort 0 och *1, men det kanske är någon typ av algebraisk metod 🤔

Fleetstreet 181
Postad: 18 maj 2022 13:25 Redigerad: 18 maj 2022 14:25

Alltså  y=ex*(asin(√(2)∙x)+bcos(√(2)∙x)+ex*(asin(-√(2)∙x)+bcos(-√(2)∙x)? 🤔 Eller vad menar du med att båda rötterna på e-form?

...

Eller menar du bara att jag skriver om det till  y=Aex∙sin(√(2)∙x)+Bex∙cos(√(2)∙x)+cos(3x)?

Micimacko 4070
Postad: 18 maj 2022 14:59

Ce^(1+2i)x + De^(1-2i)x

Svara Avbryt
Close