Differentialekvationer av första ordningen (A-Nivå)
Hej! Är dunderfast på två uppgifter, jag förstår konceptet av dem och har kommit till lösningar men fastnar helt i hur man resonerar vid integraler och derivata.
4214: Under gång stanna plötsligt motorn i en båt. Den bromsande kraften kan i varje ögonblick antas vara proportionell mot hastigheten.
a) *Ställ upp med hjälp av Newtons andra lag "F = m*dv/dt" en differentialekvation som beskriver båtens hastighet.*
På denna skrev jag om ekvationen som F - m*dv/dt = 0 och fick fram C*e^((1/m)*t) jag tänkte då att när den deriveras får man C/m, som multiplicerat med M blir F (alltså är de lika). Men det är tydligen Ce^((-k/m)*t), men om man deriverar det får man väl (Ck)/m, och då blir derivatan ck*e^(-k/m)*t. Alltså är F inte lika med mdv/dt. Tydligen så skulle man bara ta m*(dv/dt) = -kv, vilket är logiskt antar jag eftersom hastigheten minskar, och k är proportionalitetsfaktorn.
b) Bestäm v som funktion av tiden t, om t = 0 ger v= v0
Här förstod jag snabbt att då C = v0, så funktionen blir v0*e^((-kt)/m). Jag förstår fortfarande inte deriveringsprocessen i hur derivatan av (-kt)/m blir 1/m (eftersom F och m*v' var lika så måste ju C i derivatan bli C/m)
c) Låt m = 2500 kg och proportionalitetskonstanten k = 350 kg/s. Båten har hastigheten 4,0 då motorn stannar( v0 = 4,0) Hur stor är hastigheten 3,0 s senare och hur långt har båten färdats under dessa 3 sekunder? Svaret är 2,63m/s och ungefär 9,79m
Här var ju hastigheten lätt då det bara är att stoppa in i formeln (som jag fortfarande inte riktigt förstår), och sen mindes jag inte med sträckan är integralen av hastigheten (logiskt) och såfall integralen från 0 sek till 3. Och jag har INGEN aning om hur jag ska ta integral i denna uppgiften, det var längesen vi hade integraler och med e funktioner blir det ännu värre, läste i en annan tråd att det blir typ (v0*m)/k * e^((-kt)/m). Behöver hjälp här.
4215: När en kondensator med kapacitansen C urladdas genom en resistor med resistansen R, varierar laddningen Q med tiden t enligt: R*(dq/dt) + (1/C)*q = 0 Bestäm funktionen q(t) om q(0) = Q (
Då tänker jag ju att 1/C = Q, Denna är lite klurig för nu vill jag alltså ha en potens till e som blir (-1/RC), så att derivatan blir den vanliga funktionen fast negativ. Och jag fastnar här för jag vet inte vad jag ska ta för att få dessa förutsättningarna. Jag fifflade runt med typ: c*e^(-t/R). Men jag blir förvirrad hur jag deriverar e^(-t/R), det är alltså inre derivata OCH division. Och då 1/C är Q ska den väl bli kanske Q/R? Svaret blir q(t) = Q*e^(-t/(RC).
Ganska irriterad, suttit jättelänge och det känns som jag kan 90% men bara dåligt minne av integraler och derivata som gör uppgifterna jättesvåra
Hej!
Skapa en ny tråd för den andra uppgiften, annars blir det så rörigt i tråden.
Teraeagle skrev :Hej!
Skapa en ny tråd för den andra uppgiften, annars blir det så rörigt i tråden.
Okej, tack för tipset!
Hej! Lyckades lösa den så om någon söker i framtiden kanske de kan finna hjälp här!
4214 a) Här är F = -kv, eftersom om det är en diffekvation av första ordningen så kommer F- m*(dv/dt) = 0. Eftersom bromskraften är proportionell mot hastigheten så är det koeficcienten, så F = hastighet*koeficcient (som är negativ eftersom hastigheten minskar)
b) Här måste vi få reda på hur ekvationen är uppställd i C*e^kt. Eftersom m*(dv/dt) = -kv, så leder det till att (dv/dt) = (-k/m)*v, alltså är proportionalitetsfaktorn (koefficienten) för v = -k/m. Då ser formeln ut såhär: C*e^((-k/m)*t) och om man multiplicerar in "t" i divisionen för att förenkla så blir det: C*e^((-kt)/m).
Och om v=v0 när t=0 så blir C=v0 (eftersom e^((-k*0)/m) = e^0 som är 1, blir endast C kvar i ekvationen. Den ser ut såhär: v0=C*e^((-k*0)/m) --> v0=C*1 --> v0 = C
c) För att få hastigheten behöver vi bara sätta in v(3) (t=3) i formeln, och för att få sträckan får vi minnas att sträckan är integralen av hastigheten. Alltså vill vi ha integralen mellan 0 och 3 sekunder. Som tur är, så är det lätt att få integralen ur e funktioner, om man tar integralen av e^(kx) så får man (1/kx)*e^(kx). I formeln får vi då att integralen av v0*e^((-kt)/m) blir:
v0/(-k/m)*e^((-kt/m). Om vi minns tillbaks till högstadiematte så blir division av bråk samma sak som att multiplicera med nämnarens omvända bråk, alltså är v0/(-k/m) = v0*(m/-k), vilket blir (v0*m)/-k. Vår ekvation ser då ut såhär: ((v0*m)/-k)*e^((-kt)/m). För att få integralen tar vi ekvationen med t=3 minus ekvationen med t=0. Alltså: ((v0*m)/-k)*e^((-k*3)/m) - ((v0*m)/-k)*e^((-k*0)/m)
Vi får då svaret att sträckan = 9,79 meter, hastigheten var 2,6m/s i svaret förresten.
4215: Vi har att R*(dq/dt) + (1/C)*q = 0. Om vi delar med R, så får vi att (dq/dt) + (1/CR)*q = 0. Eftersom q är våran funktion, så är (1/CR) koefficienten, om vi ställer upp det i en "e" funktion så får vi att q = C*e^(-(1/(CR))*t), om vi förenklar och multiplicerar in t så får vi C*e^(-t/(CR)). Vi kan nu sätta in q(0), alltså att t=0 i funktionen för att se vad Q blir, eftersom e^(-0/(CR)) = 0, och e^0 = 1, så får vi att Q=C*e^0, det vill säga att Q=C. Den fullständiga funktionen blir såfall Q*e^(-t/(CR)) Detta är även rätt svar, tänk på att koefficienten är negativ (alltså -(1/CR)), eftersom derivatan och funktionen adderades, så måste derivatan vara negativ för att de ska bli 0
