Differentialekvationer: Fourierserielösningar

Hej!
Har fått problem med Neumannproblem. Har försökt lösa frågan på ett sätt som jag tror (på ett väldigt Dirichlet-sätt?) den borde lösas på, men det blir uppenbarligen inte rätt. Tror jag kan förvirrat mig själv i processen, men här är iallafall mitt försök.

Lös värmeledningsproblemet:

$\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0 , 0<x<1, t>0, u(x,0)=x , u_x(0,t)=u_x(1,t)=0$

Ansätt $u(x,t)=X(x)T(t)$

Använd separation av variabler (...) tills steget där:

$X(x)=Asin(\sqrt {\lambda}x )+Bcos(\sqrt {\lambda}x )$

$T(t)=C_1 e^{-n^2 \pi ^2 t}$

Randvillkor ger:

$X'(x)=A\sqrt {\lambda}cos(\sqrt {\lambda}x )-B\sqrt {\lambda}sin(\sqrt {\lambda}x )$

$X'(0)=0=A\sqrt {\lambda}cos(0)=A\sqrt {\lambda}=> A=0$

$X'(1)=0=-B\sqrt {\lambda}sin(\sqrt {\lambda}) => \lambda=n^2\pi ^2 , B=1=> X(x)=cos(n \pi x)$

Detta insätts i en fourierserie:

$u(x,t)=a_0+\sum {X(x)T(t)}=a_0+\sum cos(n \pi x)C_n e^{-n^2 \pi ^2 t}$

För C_n tar vi Begynnelsevillkoret och insätter:

$u(x,0)=x=a_0+\sum cos(n \pi x)C_n$

Vi får att a_0 =1/2 , och C_n :

$xcos(k \pi x)=\frac{cos(k \pi x)}{2} +( \sum cos(n \pi x)C_n)cos(k \pi x)$

Integrera, ta ut C_n:

$a_n=\frac{\int (xcos(k \pi x)-\frac{cos(k \pi x)}{2})dx}{\int (cos(n \pi x)cos(k \pi x))dx}$

Integralen löses då k=n:(Gränserna är 1<x<0)

$a_n=2\int (xcos(k \pi x)-\frac{cos(k \pi x)}{2})dx=[\frac{n \pi (2x-1)sin(n \pi x)+2cos(n \pi x)}{ \pi ^2 n^2}]a_n$

$=(\frac{2cos(n \pi)}{\pi ^2n^2})-(\frac{2}{\pi ^2 n^2})$

$=\frac{2}{n ^2 \pi ^2}((-1)^n-1)=\frac{2}{n^2 \pi ^2}(-1)^{n+1}$

Min lösning:

$u(x,t)=\frac{1}{2}+ \sum \frac{2}{n^2 \pi ^2}(-1)^{n+1}cos(n \pi x) e^{-n^2 \pi ^2 t}$

Vilket är helt fel, för att svaret ska vara:

$u(x,t)=\frac{1}{2}-\sum \frac{4}{(2n-1)^2 \pi ^2}e^{-(2n+1)^2 \pi ^2 t}cos((2n+1)\pi x)$

Någon som kan leda mig i rätt riktning eller förklara vart jag tänker fel?

Tack!