Differentialekvationer, kedjereglen
Som ett försök för att bestämma salthalten på vattnet som rinner ned från ett tak så samlar en elev vattnet i en behållare som rymmer 500 L som står under ett stuprör. Sedan tänkte eleven låta det avdunsta för att kunna väga mängden salt som är kvar. Men innan allt är klart så kommer regnet och som salt på såren så läcker även behållaren med 1,0 L/min. Behållaren innehåller vid starten av regnet 220 L och i den är då rent vatten blandat med 0,15 g salt. Från ett stupröret så rinner det ner 0,75 L/min av en saltlösning med koncentrationen 1,25 mg/L.
a) Regnet varar i 14 h. Hur mycket salt rinner ut ur behållaren under de 14 h?
b) Hur stor är den maximala mängden salt i behållaren?
( jag har verkligen försökt lösa denna uppgift men det enda jag kom fram till var att volymen som beror på tiden t är : V(t)=220-0,25t och att mängden salt är S(t) och för att på någon sätt kunna hitta något ekvation för den måste vi använda kedjereglen, d.v.s. ds/dt= (ds/dv)×(dv/dt). Jag skulle verkligen uppskatta det om ni hjälper mig med den här uppgiften. Jag har kursprov på måndag och den var en av de viktigaste frågorna. )
Låt oss börja nysta i det.
Om V(t) = volymen vätska i behållaren har vi, då nettoflödet är 0.75-1.0=-0.25 L/min, att
V(t)=220-0.25t. (Och vi finner här att behållaren är tom då t=t_1=220/0.25 = 880 minuter.)
Låt m(t) = mängden salt mätt i gram i behållaren.
Inflödet är I(t) = 0.75*1.25*10^-3 g/min
Utflödet är U(t) = m(t)/V(t) * 1.0 g/min (vi antar här att mängden salt, m(t), är homogent uppblandat i vätskan)
Alltså har vi att
m'(t) = I(t)-U(t)
Kan du från detta ställa upp diff.ekvationen?
