Differentialekvationer med komplexa egenvärde

$x^{(2)}(t)$ är inte korrekt. Det beror på att $e^{(1-2i)t} \ne e^t (\cos 2t + i\,\sin 2t)$.

Däremot gäller det att $e^{(1-2i)t} = e^t (\cos 2t - i\,\sin 2t)$.

Sedan vet jag inte riktigt vad du menar med att "jag skalärmultiplicerar komponenterna". Ingen skalärprodukt ska beräknas här.

LuMa07 skrev:

$x^{(2)}(t)$ är inte korrekt. Det beror på att $e^{(1-2i)t} \ne e^t (\cos 2t + i\,\sin 2t)$.

Däremot gäller det att $e^{(1-2i)t} = e^t (\cos 2t - i\,\sin 2t)$.

Sedan vet jag inte riktigt vad du menar med att "jag skalärmultiplicerar komponenterna". Ingen skalärprodukt ska beräknas här.

Vad är det som inte är korrekt med x^(2)(t)?

Jag har ju skrivit det i förra inlägget:

Du har skrivit plustecknet framför "i sin(2t)", men det borde ha varit minustecknet!

LuMa07 skrev:

Jag har ju skrivit det i förra inlägget:

Du har skrivit plustecknet framför "i sin(2t)", men det borde ha varit minustecknet!

Jag förstår inte varför det skall vara ett minustecken. r=alfa+-Bi och alfa fick vi till 1 vilket är e^alfa och B är -+2

$e^{(1-2i)t} = e^t \cdot e^{-2t\,i} = e^t ( \cos(-2t) + i \sin(-2t))$ enligt Eulers formel

• Cosinus är en jämn funktion, så  $\cos(-2t) = \cos(2t)$.
• Sinus är en udda funktion, så $\sin(-2t) = -\sin(2t)$.

Med dessa omskrivningar blir

$e^t ( \cos(-2t) + i \sin(-2t)) = e^t ( \cos 2t - i \sin 2t)$

Lösningen $x^{(1)}(t)$ innehåller $e^{(1+2i)t}$, så det ska vara $e^t ( \cos 2t + i \sin 2t)$ där.

Lösningen $x^{(2)}(t)$ innehåller $e^{(1-2i)t}$, så det ska vara $e^t ( \cos 2t - i \sin 2t)$ där.

LuMa07 skrev:

$e^{(1-2i)t} = e^t \cdot e^{-2t\,i} = e^t ( \cos(-2t) + i \sin(-2t))$ enligt Eulers formel

• Cosinus är en jämn funktion, så  $\cos(-2t) = \cos(2t)$.
• Sinus är en udda funktion, så $\sin(-2t) = -\sin(2t)$.

Med dessa omskrivningar blir

$e^t ( \cos(-2t) + i \sin(-2t)) = e^t ( \cos 2t - i \sin 2t)$

 

Lösningen $x^{(1)}(t)$ innehåller $e^{(1+2i)t}$, så det ska vara $e^t ( \cos 2t + i \sin 2t)$ där.

Lösningen $x^{(2)}(t)$ innehåller $e^{(1-2i)t}$, så det ska vara $e^t ( \cos 2t - i \sin 2t)$ där.

Jättebra förklaring. Då förstår jag!

Hur ska man förenkla detta nedan? Facits svar nedan är såhär.