Differentialekvationer y'+y = 0

kan detta vara till någon hjälp?

http://www.matteguiden.se/matte-e/differentialekvationer/ekvationer-av-forsta-ordningen/

Ture skrev:

kan detta vara till någon hjälp?

http://www.matteguiden.se/matte-e/differentialekvationer/ekvationer-av-forsta-ordningen/

Homogena och inhomogena är inget jag känner igen.

Förstår inte steg för steg hur man gör riktigt

Du har en separabel ekvation. Du känner till sådana eller hur (finns inte i Ma 4, vad jag vet)?

Ser bra ut,

$\displaystyle\int\dfrac{dy}{y}=\int dx$

Integrera!

$\ln |y|=x+C$.

$|y|=e^{x+C}$

Kan du fortsätta på egen hand?

dr_lund skrev:

Du har en separabel ekvation. Du känner till sådana eller hur (finns inte i Ma 4, vad jag vet)?

Ser bra ut,

$\displaystyle\int\dfrac{dy}{y}=\int dx$

Integrera!

$\ln |y|=x+C$.

$|y|=e^{x+C}$

Kan du fortsätta på egen hand?

Är det lne^x = lnx?

log ey = x+c?

osäker

Med tanke på att tråden ligger i Ma4, där man inte lär sig tekniker för att LÖSA ekvationer, "bara" att formulera diffekvationer och verifiera lösningar, undrar jag hur uppgiften är formulerad. Lägg in en bild av uppgiften eller skriv av den ord för ord.

Smaragdalena skrev:

Med tanke på att tråden ligger i Ma4, där man inte lär sig tekniker för att LÖSA ekvationer, "bara" att formulera diffekvationer och verifiera lösningar, undrar jag hur uppgiften är formulerad. Lägg in en bild av uppgiften eller skriv av den ord för ord.

Bara att lösa uppgiften. 

y'+y=0

Jag tycker att du nästan kommit i mål, $e^{ln(y)}=y$. men har missat ett minustecken

$\frac{dy}{y}=-dx$

$\int \frac{1}{y}\,dy=-x+d$

$\ln(y)=-x+d$

$y(x)=e^{-x+d}$

$y(x)=e^de^{-x}=Ce^{-x}$

Där vi hittat på en ny konstant $e^d=C$, det får vi göra eftersom konstanten är godtycklig

Jroth skrev:

Jag tycker att du nästan kommit i mål, $e^{ln(y)}=y$. men har missat ett minustecken

$\frac{dy}{y}=-dx$

$\int \frac{1}{y}\,dy=-x+d$

$\ln(y)=-x+d$

$y(x)=e^{-x+d}$

$y(x)=e^de^{-x}=Ce^{-x}$

Där vi hittat på en ny konstant $e^d=C$, det får vi göra eftersom konstanten är godtycklig

Så man skulle egentligen kunna använda vilken bokstav som helst?

Ja, det viktiga är att du inte trollar bort den.

$e^d$ är ju en bara en konstant, och det är helt okej att kalla den Q istället om du vill.

Jroth skrev:

Ja, det viktiga är att du inte trollar bort den.

$e^d$ är ju en bara en konstant, och det är helt okej att kalla den Q istället om du vill.

Bara själva stegen jag inte riktigt förstår än. 1/y blir ln det fattar jag. Varför blir det e tillexempel?

Sen förstod jag inte sista raden med e^de^-x

Vi börjar med det första.

$\ln(x)$ är det tal man ska ta $e^{ln(x)}$ för att få x

Om jag t.ex. skriver $a=ln(5)$ så är $a$ det tal man ska upphöja e till för att få 5.

$a\approx1.60943...$ (slå det själv på räknaren)

$e^a\approx5$ (slå det själv på räknaren!)

När det står

$ln(y)=(-x+c)$

Är alltså (-x+c) det tal man ska upphöja e till för att få y. Alltså

$e^{\ln(y)}=e^{(-x+c)}$

$y=e^{-x+c}$

Hängde du med?

Edit: fixade formuleringen.

Jroth skrev:

Vi börjar med det första.

$\ln(x)$ är det tal man ska ta $e^{ln(x)}$ för att få x

Om jag t.ex. skriver $a=ln(5)$ så är $a$ det tal man ska upphöja e till för att få 5.

$a\approx1.60943...$ (slå det själv på räknaren)

$e^a\approx5$ (slå det själv på räknaren!)

När det står

$ln(y)=-x+c$

Är alltså y det tal man ska upphöja e till för att få (-x+c). Alltså

$e^{\ln(y)}=e^{-x+c}$

$y=e^{-x+c}$

Hängde du med?

Aa jag tror det. Precis börjat med detta så gäller att nöta. Men kollar i mina formelpapper då står det lnx = log_e x

När skriver man det då?

Notera att jag rättade mitt inlägg ovan vilket kan göra det lättare att förstå.

$\log_e$ är en annan beteckning för $\ln$. Med $\ln$ menar man det tal som hör ihop med $e$

Skriver man bara $log$ utan e menar man i regel 10-logaritmen.

$a=log(x)$ är 10-logartimen. a är alltså det tal man ska upphöja 10 till för att få x

Exempel $a=log(100)=2$

Alltså är 2 det tal vi ska upphöja 10 till för att få hundra $10^{\log(100)}=10^2=100$

Men det du visar är alltså $\log_e(x)$ vilket betyder $\ln$ dvs den naturliga logaritmen (som hör ihop med e).

Om $y=\ln(x)$ så är y det tal vi ska upphöja $e$ till för att få x, dvs

$e^{y}=e^{\ln(x)}=x$

Jroth skrev:

Notera att jag rättade mitt inlägg ovan vilket kan göra det lättare att förstå.

 

$\log_e$ är en annan beteckning för $\ln$. Med $\ln$ menar man det tal som hör ihop med $e$

Skriver man bara $log$ utan e menar man i regel 10-logaritmen.

$a=log(x)$ är 10-logartimen. a är alltså det tal man ska upphöja 10 till för att få x

Exempel $a=log(100)=2$

Alltså är 2 det tal vi ska upphöja 10 till för att få hundra $10^{\log(100)}=10^2=100$

 

Men det du visar är alltså $\log_e(x)$ vilket betyder $\ln$ dvs den naturliga logaritmen (som hör ihop med e)

Tack! Enkelt och bra förklarat:)