Differentialekvationsproblem
Hej !
Maja har gräddat en sockerkaka. Temperaturen i ugnen var 200 grader och temperaturen i rummet 21 grader. När Maja tar ut den ur ugnen beräknas den svalna enligt Newtons avsvalningslag:
dT/dt = k(T-T0) där T är kakans temperatur efter t min och T0 är rummets temperatur.
a) bestäm k om kakans temperatur är 150 grader efter 5 minuter.
Min lösning:
dT/dt = k*(T-T0)
=> dT/(T-T0) = k dt
Integrera båda led ger:
ln|T-T0| = k t + C
T-T0 = e^(kt + C) = e^C*e^(kt) = De^(kt)
T = De^(kt) + T0
Jag antog att D är den urprungliga tempratur av sockerkaka så D=200 och sedan vet man ju att T0 = 21
Därför T= 200e^(kt) + 21
sätter in T=150 och =5
150 = 200e^(k5)+21
ln(129/200)/(5) = k
-0,0877=k
fast facit blir det k= -0,065
vad har jag gjort för fel ?
Tack i förväg!
PS. jag har försökt räkna ut D värdet genom att använda k=-0,065 och fick då fram att det är 207,6 ungefär, hur?
Den här funktionen T= 200e^(kt) + 21 är inte korrekt. Vad ger den för temperatur T när tiden t = 0?
Hej!
Enligt din formel är kakans temperatur vid tiden t=0 lika med D+T0 grader Celsius, vilket är 200 grader. Det betyder att kakans temperatur vid tiden t kan skrivas
där avsvalningskonstanten (k) måste vara ett negativt tal; annars är det inte avsvalning utan uppvärmning istället.
Du vet att grader vilket betyder att avsvalningskonstanten är sådan att
.
Med andra ord,
.
