Differentialkalkyl
Hej, kan någon hjälpa mig med följande uppgift:
Visa att ytorna och i en omgivning av punkten (1,1,1) skär varandra längs en kurva. Bestäm en ekvation för tangenten i punkten (1,1,1) till denna kurva.
Jag började med att testa att sätta in x=1, y=1, z=1 och fick då: vilket stämmer med vad som stod i frågan.
Den andra ytan ger vilket också stämmer med det som angavs i frågan.
Efter detta är jag fast, hur ska man ta sig vidare härifrån?
Kan du bestämma tangentplanen för ytorna? Två plan skär varann i en rät linje, nämligen den sökta tangenten.
För att bestämma tangentplanet för satte jag (2x,4y,6z) = (2*1),(4*1),(6*1) = (2,4,6) = (1,2,3)
Tangentens ekvation: (1,2,3)*(x-1,y-1,z-1)
(x-1)+(2y-2)+(3z-3) = x+2y+3z -6
Om jag sedan tar x^2+y^2+z^2 får jag fram (x+y+z-3)
Hur ska man gå vidare efter det? svaret blir inte som i facit.
Minustecken på y^2 och z^2. Du har nu fått fram två tangentplan. Hur hittar du skärningslinjen?
så blir tangentplanen nu x+2y+3z-6 och x-y-z-3 ?
så nästa steg blir att hitta skärningslinjen.
så nu har jag
2y = -x-3z+6
y = -x+z+3
svaret ska bli (x,y,z)=(1,1,1)+t(1,4,-3)
(1,1,1) får jag från punkten (1,1,1) i början av frågan men jag får inte till t(1,4,-3)
jag provade att sätta in de två ekvationerna till ett ekvationssystem
2 -1-3-6
1 -1 1 3
men efter jag radreducerade fick jag (1 0 -4 3) och (0 1 -5 0)
Inget av dom gav mig rätt svar så någonstans har jag gjort fel.
Om du eliminerar y och z från dina ekvationer får du y^2 = 4 x^2 -3 och z^2 = 4 - 3 x^2. Nära (1, 1, 1) är alla positiva, så skärningslinjen i parameter form kan skrivas som:
(t, sqrt(4t^2 - 3), sqrt(4-3t^2))
Derivera komponenter med avseende på t, sätt t=1 och då har du riktningsvektor för tangentlinjen. Flytta linjen så att den går genom (1,1,1) och du är hemma
jag förstår inte riktigt, hur får du och
Okej, nu har jag fått mina ekvationer till
x+2y+3z-6 och x-y-z-1, blir det rätt?
sen hade jag tänkt att sätta in dom i ett ekvationssystem men har inte lyckats få fram rätt svar.
Du har skrivit två uttryck men ingen ekvation.
om jag sätter in båda uttrycken i en ekvation som
x+2y+3z-6=x-y-z-1
så går ju x bort och jag får 3y+4z=5
jag kommer tyvärr inte närmare svaret genom det så någonstans gör jag fel.
Ena tangentplanets ekvation är x+2y+3z-6=0. Hur ser andra tangentplanets ekvation ut. (En ekvation ska ha ett likhetstecken.)
blir det inte x-y-z-1=0
Nästan men eftersom det planet inte går genom punkten 1,1,1 är något fel.
Ja, tyvärr har jag fastnat här. Jag hade antingen x-y-z-3 eller med -1, men jag tror tyvärr att båda är fel.
Du vet att 1,-1,-1 är vinkelrät mot planet, alltså att det är av typen x-y-z=k. Konstanten k ska väljas så att planet går genom 1,1,1.
Jag är osäker på hur man ska lösa k i uppgiften. Jag försökte att sätta in ekvationerna i ett ekvationssystem. Är inte konstanten k det jag fick när jag räknade ut x-y-z-1 alt x-y-z-3?
Du vill att planet skall gå genom punkten x=1, y=1, z=1, d v s att x=1, y=1, z=1 är en lösning till ekvationen x-y-z=k. Sätt in värdena på x, y och z och beräkna k.
då får jag 1-1-1=k så k=-1
Men hur tar jag mig därifrån till att få (1,1,1)+t(1,4,-3)
Det som är kvar är att hitta skärningslinjen mellan planen x+2y+3z=6 och x-y-z=-1. (Men jag är fortfarande inte säker på att du förstår hur man får fram tangentplanets ekvation. Du skrev nu x-y-z-1 och x-y-z-3 men inget av dom uttrycken är en ekvation. Fråga gärna mer om det du inte förstår här.) En linje genom (1,1,1) skrivs alltid i parameterform som (1,1,1)+t(a,b,c) där vektorn (a,b,c) är linjens riktningsvektor. Eftersom linjeriktningen är vinkelrät mot båda planens normaler (1,2,3) och (1,-1,-1) måste den vara kryssprodukten mellan dessa.
okej jag förstår kryssprodukten nu och får fram rätt riktningsvektor men vad händer med konstanttermen 6 och -1?
Dom har ingen betydelse längre eftersom du vet att linjen ska gå genom (1,1,1).
