6 svar
101 visningar
Idil M 279
Postad: 11 jul 2018

Dihedrala gruppen D6

Hej

jag har en uppgift om den dihedrala gruppen D6 som jag behöver hjälp med att förstå hur man ska lösa:

Betrakta den dihedrala gruppen:

D6=ρk:0k6σρk:0k6

a) Lös ekvationen σρζρ2=σ dvs bestäm ζ

b) Visa att delgruppen N=<p> är normal i D6 och bestäm kvotgruppen D6/N

c) Är delgruppen H=σ normal i D6

I den första uppgiften så ser jag att man ska lösa det genom att sätta ρζρ2=ε som första steg, men jag är inte helt med på vad man ska lägga till för att få bort σ från VL och sedan få identitetselementet i HL? resten av stegen fram till svaret ζ=ρ3 är jag med på.

I b-uppgiften så står det att eftersom N=6 så är D6:N=2  

Som jag har förstått så gäller det att för n3 gäller det att den dihedrala gruppen Dn är en grupp av ordning 2n, vilket i detta fall skulle innebära att D6 har ordning 12, men hur ska man använda denna information till att bestämma om delgruppen N=<p> är normal?

SeriousCephalopod 793
Postad: 11 jul 2018 Redigerad: 11 jul 2018

Jag tror att det borde vara k <6 eller k<=5

För att lösa en ekvation på formen

axb=caxb=c där x är den okända så kan man från ett operationonellt perspektiv helt enkellt multiplicera element till höger och vänster om x med deras motsvarande inverser

axb=ca-1axbb-1=a-1cb-1x=a-1cb-1axb=c \Leftrightarrow a^{-1}axb b^{-1}=a^{-1}c b ^{-1} \Leftrightarrow x=a^{-1}c b ^{-1}

Så hur konstruerar man inverser i dihedrala gruppen? Här hjälper det mycket om man vet vad gruppen representerar. ρ\rho representerar en rotation 1/6 av ett varv och σ\sigma representerar en reflektion i någon linje, exempelvis x-axeln.

Så om man börjar med σ\sigma. Vad är inversen till en reflektion? Jo, reflektioner är alltid sina egna inverser. σσ=e\sigma \sigma = e. Flip-flip och man är tillbaka.

Okej vi får

ρζρ2=e\rho \zeta \rho^2=e

Vad är inversen till ρ\rho? Jo om man först roterar 1/6 av ett varv så behöver man ju därefter roterar 5/6 av ett varv för att komma tillbaka till startläget så ρ-1=ρ5\rho^-1= \rho^5. Från det

ζρ2=ρ5\zeta \rho^2 = \rho^5

och på samma vis (ρ2)-1ρ4(\rho^2)^{-1}\rho^4

ζ=ρ5ρ4=ρ9=ρ3\zeta = \rho^5 \rho^4 = \rho^9 = \rho^3

Eller en rotation ett halvt varv... Man kan göra dessa utärkningar axiomatiskt också snarare än inuitionalistiskt men då behöver man formulera axiomen för gruppen.

b) Huruvida en undergrupp är normal eller ej är inte direkt sammanbundet med dess ordning, och även om det finns relationer så är det inget i stil med att man kan utifrån att ordningen säg är jämn kan säga något om normalitet.

Gruppteori handlar mest om att mekaniskt tillämpa definitioner så vad är det som ska gälla för ρ\langle \rho \rangle? Vad är definitionen... (Också, har du en förståtelse för vilka  operationer ρ\langle \rho \rangle representerar)

oggih 234 – F.d. Moderator
Postad: 11 jul 2018 Redigerad: 11 jul 2018

(a) Här gäller det att komma ihåg att σ\sigma står för en reflektion längs någon diagonal i en regelbunden hexagon, och att ρ\rho står för en 60 graders-rotation. En konsekvens av detta är att σ2=1\sigma^2=1 och att ρ6=1\rho^6=1 (är du med på varför?), vilket i sin tur innebär att σ-1=σ\sigma^{-1}=\sigma och att ρ-1=ρ5\rho^{-1}=\rho^{5}.

Detta kan vi unyttja för att lösa ekvationen!

Få bort σ\sigma i VL genom att multiplicera med σ\sigma från vänster i båda led:

σρζρ2=σ\sigma\rho\zeta\rho^2=\sigma

σσρζρ2=σσ\sigma\sigma\rho\zeta\rho^2=\sigma\sigma

ρζρ2=1.\rho\zeta\rho^2=1\,.

Få bort det vänstra ρ\rho:et genom att vänstermultiplicera med ρ5\rho^5:

ρ5ρζρ2=ρ5\rho^5\rho\zeta\rho^2=\rho^5

ζρ2=ρ5.\zeta \rho^2=\rho^5\,.

Få bort det högra ρ2\rho^2:et genom att högermultiplicera med ρ4\rho^4 (alternativt ρ10\rho^{10}):

ζρ2ρ4=ρ5ρ4.\zeta \rho^2\rho^{4}=\rho^5\rho^{4}\,.

ζρ6=ρ9\zeta\rho^6=\rho^9

ζ=ρ9\zeta=\rho^9

ζ=ρ6ρ3\zeta=\rho^6\rho^3

ζ=ρ3.\zeta=\rho^3\,.

Prontera 56
Postad: 11 jul 2018

En delgrupp av index 2 är alltid normal. Det är nog det de syftar på i lösningsförslaget.

Bevis för detta finns t.ex. här: https://proofwiki.org/wiki/Subgroup_of_Index_2_is_Normal

oggih 234 – F.d. Moderator
Postad: 11 jul 2018 Redigerad: 11 jul 2018

(b) Här har de, precis som Prontera skriver, utnyttjat ett klassiskt trick, nämligen att om en undergrupp har index 2, så måste den vara normal.

I ditt fall är |D6|=12|D_6|=12, medan |N|=6|N|=6, vilket betyder att |D6:N|=12/6=2|D_6:N|=12/6=2. Alltså är NN normal.

Jag rekommenderar dock att du som övning även försöker övertyga dig om detta mer "direkt", genom att använda definitionen av "normal undergrupp", precis som SC föreslår. Enligt denna är NN normal om och bara om det för varje aNa\in N och varje xD6x\in D_6 gäller att xax-1Nxax^{-1}\in N.

Eftersom NN har 6 element och D6D_6 har 12 element så behöver du bara undersöka 6·12=326\cdot 12=32 stycken fall! Det är helt klart görbart! Och om du börjar undersöka några olika kombinationer av aa och xx så kommer du nog inse att du inte behöver undersöka alla 32 stycken fallen heller :)

Idil M 279
Postad: 11 jul 2018

okej men hur får man fram att ordningen för N är 6? kommer det av ρ:0k6 ? 

oggih 234 – F.d. Moderator
Postad: 16 jul 2018 Redigerad: 16 jul 2018

Precis! (Fast som SC påpekade ska det egentligen vara 0k50\leqslant k\leqslant 5.)

Vi har

   N=ρ={1,ρ,ρ2,ρ3,ρ4,ρ5}.N=\langle\rho\rangle=\{1,\rho,\rho^2,\rho^3,\rho^4,\rho^5\}\,.

Konkret kan detta tolkas som identiteten (ingen rotation alls eller rotation ett helt varv, rotation 1/6 av ett ett varv, rotation 2/6 av ett varv,... rotation 5/6 av ett varv.

Svara Avbryt
Close