9 svar
45 visningar
Jaghatarfysik är nöjd med hjälpen
Jaghatarfysik 110
Postad: 18 okt 2023 11:23

dimension och egenvärden av T

a)uppgiften har jag kommit fram till genom definitionen av linjära avbildningar 

dock när det kommer till b uppgiften kommer jag fram till genom uträckningen av T(p(x)) =0 att p(x) behöver vara ett tal för att det ska gälla vilket gör att nulldim(T) = 1 men förstår inte hur jag ska få fram rank(T), jag vet att nulldim(T) + rank(T) = n då avbildnings matrisen för T är n x m matris. samt uppgift c vet jag inte hur jag ska starta.

Hur ska jag göra på b respektive c ?

Mohammad Abdalla 1349
Postad: 18 okt 2023 14:06

b) Dimensionen av Pn är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

Pn har en standardbas xn,xn-1,.....,x,1

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är x3,x2,x,1)

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då x3, x2, x,1)

Tn(xn)=(x+2)(xn)'=(x+2)(nxn-1)=nxn+2nxn-1+0xn-2+....0x+0Tn(xn-1)=(x+2)(xn-1)'=(x+2)((n-1)xn-2)=0xn+(n-1)xn-1+2(n-1)xn-2+0xn-3+.....+0x+0Tn(xn-2)=(x+2)(xn-2)'=(x+2)((n-2)xn-3)=0xn+0xn-1+(n-2)xn-2+2(n-2)xn-3+0xn-4+.....+0x+0...Tn(x)=(x+2)(x)'=x+2 = 0xn+0xn-1+0xn-2+....1x+2Tn(1)=(x+2)(1)'=0=0xn+0xn-1+0xn-2+....0x+0Avbildningsmatrisen blir då n00.002nn-10.0002(n-1)n-2.00.02(n-2)..00...1.000.00

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

Jaghatarfysik 110
Postad: 18 okt 2023 14:12 Redigerad: 18 okt 2023 14:15
Mohammad Abdalla skrev:

b) Dimensionen av Pn är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

Pn har en standardbas xn,xn-1,.....,x,1

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är x3,x2,x,1)

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då x3, x2, x,1)

Tn(xn)=(x+2)(xn)'=(x+2)(nxn-1)=nxn+2nxn-1+0xn-2+....0x+0Tn(xn-1)=(x+2)(xn-1)'=(x+2)((n-1)xn-2)=0xn+(n-1)xn-1+2(n-1)xn-2+0xn-3+.....+0x+0Tn(xn-2)=(x+2)(xn-2)'=(x+2)((n-2)xn-3)=0xn+0xn-1+(n-2)xn-2+2(n-2)xn-3+0xn-4+.....+0x+0...Tn(x)=(x+2)(x)'=x+2 = 0xn+0xn-1+0xn-2+....1x+2Tn(1)=(x+2)(1)'=0=0xn+0xn-1+0xn-2+....0x+0Avbildningsmatrisen blir då n00.002nn-10.0002(n-1)n-2.00.02(n-2)..00...1.000.00

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

varför är dimensionen av P = n + 1?

och varför är standard basen den xˆn....... ?

Jaghatarfysik 110
Postad: 18 okt 2023 14:25
Mohammad Abdalla skrev:

b) Dimensionen av Pn är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

Pn har en standardbas xn,xn-1,.....,x,1

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är x3,x2,x,1)

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då x3, x2, x,1)

Tn(xn)=(x+2)(xn)'=(x+2)(nxn-1)=nxn+2nxn-1+0xn-2+....0x+0Tn(xn-1)=(x+2)(xn-1)'=(x+2)((n-1)xn-2)=0xn+(n-1)xn-1+2(n-1)xn-2+0xn-3+.....+0x+0Tn(xn-2)=(x+2)(xn-2)'=(x+2)((n-2)xn-3)=0xn+0xn-1+(n-2)xn-2+2(n-2)xn-3+0xn-4+.....+0x+0...Tn(x)=(x+2)(x)'=x+2 = 0xn+0xn-1+0xn-2+....1x+2Tn(1)=(x+2)(1)'=0=0xn+0xn-1+0xn-2+....0x+0Avbildningsmatrisen blir då n00.002nn-10.0002(n-1)n-2.00.02(n-2)..00...1.000.00

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

Detta är väl rätt avbildnings matris då n = 3

Mohammad Abdalla 1349
Postad: 18 okt 2023 14:28 Redigerad: 18 okt 2023 14:32

Om vi tar ett exempel på p3, alltså alla polynom som har högst grad 3, dvs alla polynom av formen a3x3+a2x2+a1x+a0.

En sån polynom kan skrivas entydigt som en linjär kombination av elementerna i B= e1=x3, e2=x2, e3=x, e4=1

T.ex:

Om vi har polynomet f(x)= -3x3+2x2+1 så kan vi skriva det f(x)=-3e1+2e2+0e3+1e4

Detta betyder att B är en bas i p3 och eftersom B har 4 element i sig så är dimensionen av p3 är 4=(3+1).

Mohammad Abdalla 1349
Postad: 18 okt 2023 14:30
Jaghatarfysik skrev:
Mohammad Abdalla skrev:

b) Dimensionen av Pn är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

Pn har en standardbas xn,xn-1,.....,x,1

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är x3,x2,x,1)

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då x3, x2, x,1)

Tn(xn)=(x+2)(xn)'=(x+2)(nxn-1)=nxn+2nxn-1+0xn-2+....0x+0Tn(xn-1)=(x+2)(xn-1)'=(x+2)((n-1)xn-2)=0xn+(n-1)xn-1+2(n-1)xn-2+0xn-3+.....+0x+0Tn(xn-2)=(x+2)(xn-2)'=(x+2)((n-2)xn-3)=0xn+0xn-1+(n-2)xn-2+2(n-2)xn-3+0xn-4+.....+0x+0...Tn(x)=(x+2)(x)'=x+2 = 0xn+0xn-1+0xn-2+....1x+2Tn(1)=(x+2)(1)'=0=0xn+0xn-1+0xn-2+....0x+0Avbildningsmatrisen blir då n00.002nn-10.0002(n-1)n-2.00.02(n-2)..00...1.000.00

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

Detta är väl rätt avbildnings matris då n = 3

Du har skrivit koordinaterna som rader inte kolonner.

Jaghatarfysik 110
Postad: 18 okt 2023 14:34
Mohammad Abdalla skrev:
Jaghatarfysik skrev:
Mohammad Abdalla skrev:

b) Dimensionen av Pn är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

Pn har en standardbas xn,xn-1,.....,x,1

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är x3,x2,x,1)

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då x3, x2, x,1)

Tn(xn)=(x+2)(xn)'=(x+2)(nxn-1)=nxn+2nxn-1+0xn-2+....0x+0Tn(xn-1)=(x+2)(xn-1)'=(x+2)((n-1)xn-2)=0xn+(n-1)xn-1+2(n-1)xn-2+0xn-3+.....+0x+0Tn(xn-2)=(x+2)(xn-2)'=(x+2)((n-2)xn-3)=0xn+0xn-1+(n-2)xn-2+2(n-2)xn-3+0xn-4+.....+0x+0...Tn(x)=(x+2)(x)'=x+2 = 0xn+0xn-1+0xn-2+....1x+2Tn(1)=(x+2)(1)'=0=0xn+0xn-1+0xn-2+....0x+0Avbildningsmatrisen blir då n00.002nn-10.0002(n-1)n-2.00.02(n-2)..00...1.000.00

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

Detta är väl rätt avbildnings matris då n = 3

Du har skrivit koordinaterna som rader inte kolonner.

varför ska man skriva de som koloner? 

Mohammad Abdalla 1349
Postad: 18 okt 2023 15:03

Vi tar ett exempel som inte är relaterad till uppgiften:

När (y1, y2, y3)=T(x1, x2, x3)=T(x1e1+ x2e2 +x3e3)      e1,e2,e3är en standardbas

                        =x1T(e1) + x2T(e2) + x3T(e3)      Om vi säger att  T(e1)=(a, b, c) , T(e2)=(d, e, f) och T(e3)=(g, h, i) 

                      (y1, y2, y3)  = x1(a, b, c)+ x2(d, e, f)+ x3(g, h, i)      Du ser här att y1=ax1+dx2+gx3

                       Detta kan skrivas på matrisform så här:

y1y2y3=adgbehcfix1x2x3

Så koordinaterna blir kolonner i matrisen inte rader.

Jaghatarfysik 110
Postad: 18 okt 2023 15:18 Redigerad: 18 okt 2023 15:20
Mohammad Abdalla skrev:

Vi tar ett exempel som inte är relaterad till uppgiften:

När (y1, y2, y3)=T(x1, x2, x3)=T(x1e1+ x2e2 +x3e3)      e1,e2,e3är en standardbas

                        =x1T(e1) + x2T(e2) + x3T(e3)      Om vi säger att  T(e1)=(a, b, c) , T(e2)=(d, e, f) och T(e3)=(g, h, i) 

                      (y1, y2, y3)  = x1(a, b, c)+ x2(d, e, f)+ x3(g, h, i)      Du ser här att y1=ax1+dx2+gx3

                       Detta kan skrivas på matrisform så här:

y1y2y3=adgbehcfix1x2x3

Så koordinaterna blir kolonner i matrisen inte rader.

Så i denna uppgift så är det så att

T(p(x)) = (x^n, x^n-1 ......)A

Alltså att x värden är i rad och inte kolon? Isåfall varför är de i rad och inte koloner, I exemplet du gav fattar jag varför de ska vara så men inte riktigt i denna uppgift fråga😅

Mohammad Abdalla 1349
Postad: 18 okt 2023 21:10

Jag visar med ett exempel varför din matris inte stämmer utan transponaten av din matris som stämmer.

Din matris är A= 3600024000120000

Låt oss ta f(x)=2x3+5x2+1= 2e1+5e2+0e3+1e4 så f(x) har koordinaterna 2501 med avseende på standardbasen. 

    T(f(x))=(x+2)(6x2+10x)=6x3+22x2+20x=6e1 + 22e2+20e3+0e4 så T(f(x)) har koordinaterna 622200

Om din matris (A) stämmer så måste

A×2501=622200 testa om det stämmer. 

Testa annars matrisens transponat.

Slutsats: Koordinaterna skrivs ALLTID som kolonner i avbildningsmatrisen.

Svara Avbryt
Close