Dimensionen till {0}

Man brukar ibland definiera spannet till en mängd M av vektorer i ett vektorrum V som snittet av alla underrum till V som innehåller M. span(M) är då det minsta underrum som innehåller M.

Med den definitionen så blir faktiskt span$\left(\varnothing \right)$={0}.

Man kan sedan definiera linjärt beroende på så sätt att M är linjärt beroende om M innehåller en äkta delmängd M’ som har samma spann som M. span(M) = span(M’).

Om M inte är linjärt beroende så säger vi att M är linjärt oberoende.

Eftersom den tomma mängden inte har någon äkta delmängd så måste den vara linjärt oberoende.

brunbjörn skrev:

Men spannet av den tomma mängden är inte lika med {0}, och därför är det inte heller en bas.

Det här är en klassisk lurig sak i linjär algebra som alla blir förvirrade över någon gång i ens matematiska liv! ^_^

Faktum är att span(Ø)={0}, men det kan vara lite förvirrande beroende på vilken definition man använder. 

Om du använder definitionen att span(M) är det minsta linjära rummet som innehåller M så har Patenteramera en bra förklaring ovan.

Om du i stället använder definitionen att span(M) är mängden av alla linjärkombinationer av ändligt många element ur M så behöver man komma ihåg konventionen att en summa utan några termer alls är lika med 0.

oggih skrev:

brunbjörn skrev:

Men spannet av den tomma mängden är inte lika med {0}, och därför är det inte heller en bas.

Det här är en klassisk lurig sak i linjär algebra som alla blir förvirrade över någon gång i ens matematiska liv! ^_^

Faktum är att span(Ø)={0}, men det kan vara lite förvirrande beroende på vilken definition man använder. 

Om du använder definitionen att span(M) är det minsta linjära rummet som innehåller M så har Patenteramera en bra förklaring ovan.

Om du i stället använder definitionen att span(M) är mängden av alla linjärkombinationer av ändligt många element ur M så behöver man komma ihåg konventionen att en summa utan några termer alls är lika med 0.

Jag använder definitionen att spannet av ett antal vektorer är mängden av alla linjärkombinationer man kan bilda av dessa vektorer men fattar inte hur ni tänkte helt ärligt 😕

Det är en bra definition! 

En linjärkombination i får vi genom att välja ändligt antal $k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ vektorer $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\in M$, och lika många skalärer $\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbb{R}$, och sedan beräkna summan $\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+\lambda_k\mathbf{v}_k$.

Om nu $M=\emptyset$, så är den enda linjärkombinationen vi kan bilda den triviala, där vi antalet termer är $k=0$. Konventionen i nästan all matematik är att en summa utan termer är lika med 0, så vi får att $\text{span}(\emptyset)=\{\mathbf{0}\}$.

Det enklaste är nog faktiskt att bara tänka dig att definitionen av span(M) består av två fall:

1. Om M=Ø så är span(M) definierad som {0}.
2. Om M≠Ø så är span(M) definierad som med mängden av alla linjärkombinationer av element ur M.

Här ovanför ger jag och Patenteramera två olika förklaringar till varför det är "matematiskt rimligt" att definiera span(Ø) som {0}, men man behöver kanske ha sett en hel del annan matematik för att bli övertygad av detta... För tillfället kommer du klara dig alldeles utmärkt om du bara säger att span(Ø)={0} per definition, och så kan du återvända till den här tråden efter att du har läst klart din linjär algebra-kurs! 

Det som däremot är viktigt här och nu är varför den här definitionen leder till faktumet att Ø är en bas för {0}. Hänger du med på varför detta är sant, eller ska vi försöka förtydliga något?

Är detta bara av akademiskt intresse eller finns det någon användning?