dimensionssatsen

Facit som du bifogat behandlar W och dess ortogonala komplement från uppgift 11. (Uppgift 10 finns inte med i det bifogade facitet till 12:an)

Vad säger dimensionssatsen för delrum som står på sidan 384? Det är nämligen svårt att svara på din fråga när man inte vet hur exakt satsen formulerats i er lärobok.

Till uppgift 11:

Delrummet $W$ kan tolkas som nollrummet till den linjära avbildningen $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$ med avbildningsmatrisen $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2& 1& 1\\ 0 & 1 & 1& 1& 0\\1 &-3&-2&0&1\end{bmatrix}$

Detta beror på att ekvationssystemet som definierar delrummet $W$ kan skrivas på matrisform $A \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$, där $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^5$ och $\mathbf{0} \in \mathbb{R}^3$.

• $\dim(W)=2$ (notera att $W=\mathrm{null}(T)=\mathrm{null}(A)$)
• $\dim(W^\perp)=3$ (notera att $\dim(\mathrm{Im}(T))=\dim(\mathrm{col}(A))=3$)
• $\dim(\mathbb{R}^5)=5$ (Definitionsmängden för $T$ är $\mathbb{R}^5$)

LuMa07 skrev:

Facit som du bifogat behandlar W och dess ortogonala komplement från uppgift 11. (Uppgift 10 finns inte med i det bifogade facitet till 12:an)

Vad säger dimensionssatsen för delrum som står på sidan 384? Det är nämligen svårt att svara på din fråga när man inte vet hur exakt satsen formulerats i er lärobok.

Till uppgift 11:

Delrummet $W$ kan tolkas som nollrummet till den linjära avbildningen $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$ med avbildningsmatrisen $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2& 1& 1\\ 0 & 1 & 1& 1& 0\\1 &-3&-2&0&1\end{bmatrix}$

Detta beror på att ekvationssystemet som definierar delrummet $W$ kan skrivas på matrisform $A \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$, där $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^5$ och $\mathbf{0} \in \mathbb{R}^3$.

• $\dim(W)=2$ (notera att $W=\mathrm{null}(T)=\mathrm{null}(A)$)
• $\dim(W^\perp)=3$ (notera att $\dim(\mathrm{Im}(T))=\dim(\mathrm{col}(A))=3$)
• $\dim(\mathbb{R}^5)=5$ (Definitionsmängden för $T$ är $\mathbb{R}^5$)

dimensionssatsen säger dim(Null(A)) + dim(Im(A)) =  antalet kolonner i A

Fattade mest inte frågan så frågan vill bara att jag ska se att dim(W) = dim(Im(A)) = 2  men  dim(W^⊥) = 3 ≠ dim(Null(A))

dim(Null(A)) = 2

facit till uppgift 11:

brunbjörn skrev:

LuMa07 skrev:

...

...

jag ska se att dim(W) = dim(Im(A)) = 2  men  dim(W^⊥) = 3 ≠ dim(Null(A))

dim(Null(A)) = 2

Detta stämmer inte och det är inte vad jag skrivit i #2.

Det gäller att:

• dim(W) = dim(Null(A)) = 2
• dim(W^⊥) = 5 - dim(W) = 3 = dim(Im(A))
• dim(Null(A))+dim(Im(A)) = 2+3=5

LuMa07 skrev:

brunbjörn skrev:

Visa föregående citat

LuMa07 skrev:

...

...

jag ska se att dim(W) = dim(Im(A)) = 2  men  dim(W^⊥) = 3 ≠ dim(Null(A))

dim(Null(A)) = 2

Detta stämmer inte och det är inte vad jag skrivit i #2.

Det gäller att:

• dim(W) = dim(Null(A)) = 2
• dim(W^⊥) = 5 - dim(W) = 3 = dim(Im(A))
• dim(Null(A))+dim(Im(A)) = 2+3=5

Men jag får det till det 😕

Mina inlägg handlade om delrum W och dess ortogonala komplement W^⊥ från Uppgift 11. Facit som du bifogat säger absolut ingenting om delrummen i Uppgift 10. (Det finns ju inget delrum W i Uppgift 10.)

När det gäller delrum i Uppgift 10:

Din uträkning visar att dim(Null(A))=1 och dim(Im(A)) = 2. Det stämmer överens med dimensionssatsen då 1 + 2 = 3 (=antalet kolumner i matrisen A)

LuMa07 skrev:

Mina inlägg handlade om delrum W och dess ortogonala komplement W^⊥ från Uppgift 11. Facit som du bifogat säger absolut ingenting om delrummen i Uppgift 10. (Det finns ju inget delrum W i Uppgift 10.)

---

När det gäller delrum i Uppgift 10:

Din uträkning visar att dim(Null(A))=1 och dim(Im(A)) = 2. Det stämmer överens med dimensionssatsen då 1 + 2 = 3 (=antalet kolumner i matrisen A)

Jo men asså jag fattar inte det gulmarkerade i uppgift 12 alls... asså vad menar de ens? facit skrev ju 2+ 3 = 5 men jag får ju 1 + 2 = 3

Du försöker klura ut innebörden av dimensionssatsen i två olika uppgifter som om de hörde ihop, men det gör de inte, utan de är oberoende av varandra.

• 2+3=5 gäller dimensionssatsen i uppgift 11 och det är detta som tagits med i facit. (Uppgift 10 har ingen relevans för detta delsvar)
  
  
• 1+2=3 är korrekt och gäller dimensionssatsen i uppgift 10, men detta har inte tagits med i facit. (Uppgift 11 har ingen relevans för detta delsvar.)

Jag håller dock med om att uppgiften formulerats väldigt olyckligt då man klumpat ihop uppg. 10&11 enbart i en delfråga i 12:an.

LuMa07 skrev:

Du försöker klura ut innebörden av dimensionssatsen i två olika uppgifter som om de hörde ihop, men det gör de inte, utan de är oberoende av varandra.

• 2+3=5 gäller dimensionssatsen i uppgift 11 och det är detta som tagits med i facit. (Uppgift 10 har ingen relevans för detta delsvar)
  
  
• 1+2=3 är korrekt och gäller dimensionssatsen i uppgift 10, men detta har inte tagits med i facit. (Uppgift 11 har ingen relevans för detta delsvar.)

 

Jag håller dock med om att uppgiften formulerats väldigt olyckligt då man klumpat ihop uppg. 10 enbart i en liten delfråga i 12:an.

Tack för hjälpen!