diofantisk ekvation

Ledtråden är mycket bra. Ser du något sätt att eliminera en variabel?

Tycker boken att 0 ingår i N?

Ja, i kursboken ingår 0 i N

Du har råkat byta plats på $x$ och $z$, men det spelar inte jättemycket roll. Hur som helst har du ju en standard linjär diofantisk ekvation med två okända. Vet du hur man löser dessa? 

Tillägg: 9 sep 2026 23:38

Detta var svar till #5, såg inte ditt senaste inlägg.

Okej, du har visat att du kan applicera den där satsen. Det enda du behöver då är väl en partikulärlösning till ekvationen. Har du hittat någon sådan? 

euklides algorimt baklänges?

Det lättaste skulle är bara att testa lite. Testa att sätt in något värde på $y$ och se om ekvationen kan lösas.

fastnade 

Jag brukar använda Euklides algoritm framlänges först, och sedan gå baklänges.

Hur använder du den på 19 och 5?

det var svårt att se i början med tanken var att ”samla ihop” talen.

i inlägg#6 utfördes euklides alg framlänges 

såhär?

Din lösning är rätt. Jag vill dock nämna att eftersom talen framför $x,y$ i ekvationen är primtal är det ganska lätt att gissa en lösning utan att köra hela euklides. Om vi kollar på ekvationen: 

$5x+ 19y=100$

Vi ser att $19y = 100-5x$ och HL är nu en multipel av 5, vilket innebär att VL också är det. Då är alltså $y$ delbar med 5 eftersom $19$ är primtal, nu kan vi bara testa något, säg $y=0$. Då ser vi direkt att $x=20$ löser ekvationen. 

Euklides kommer alltid fungera, så du kan ignorera det jag skrivit här. Men det är skönt när man inte behöver göra så mycket arbete, tycker jag. 

Det kanske inte hör hit, men som en liten lustighet kan noteras att ekvationerna uttrycker två plan i rummet. Lösningar är därmed punkter på den linje som bildas där planen skär varandra. Använder man verktygen i linjär algebra får man linjen på parameterform som

(x,y,z) = (1,5,94) + t(-19,5,14), och heltalslösningar om t är heltal

Biorr skrev:

såhär?

Jag tror att jag fick fel i sista steget med x₀ och y₀. och sedan när jag ska skriva det allmäna lösningen

i början hade jag fel beteckningar på variablarna?

är y=x och z=y ?

blir det såhär istället?

är detta mer korrekt?

hur avgör man att det blir y=x och z=y

likaså finns det väl en viss gräns på n värdet?

De vill inte veta den generella lösningen, utan vilka lösningar som ligger i N. Det är inte så många.

Hej igen. i #15 blev den allmänna lösningen

(x,y,z) = (1,5,94) + t (-19,5,14) . Med t=-21 blir en lösning 

(x,y,z) = (1,5,94) -21 (-19,5,14) = (1,5,94) + (399,-105,-294) = (400, -100, -200)

Där du har kommit fram till x och y och där alltså z =-200.

Det finns hur många heltalslösningar som helst.

Laguna skrev:

De vill inte veta den generella lösningen, utan vilka lösningar som ligger i N. Det är inte så många.

Hur många lösningar hittar du?

Beklagar. Var fast i "heltalslösningar till diofantiska ekvationer" -tänket.

Då blir det bara två lösningar:

t=0 (1,5,94) + 0(-19,5,14) = (1, 5, 94) Alla positiva t "knäcker" x-termen.

t=-1 (1,5,94) - (-19, 5, 14) = (20, 0, 80) Alla mindre heltal "knäcker" y-termen.

Ska man nu vara petig kan man nämna att Skolverket och många andra har med 0 som naturligt tal men det finns andra:

Jag tänkte trådskaparen skulle få svara.