Diofantisk ekvation med krav på positiva x,y,z
Hej!
Jag undrar om jag hade kunnat få lite hjälp med en diofantisk ekvation som jag har fastnat på?
Uppgiften är:
Jag har skrivit att 3x+10y+0.5z=100 och x+y+z=100
Sen gjorde jag om första ekvationen för att bli av med halvtalet, dvs: 6x+20y+z=200
Om man ersätter z här med z från andra ekvationen så får man: 6x+20y+(100-x-y)=200,
dvs 5x+19y=100
Jag började försöka lösa 5x+19y=100 med Euklides algoritm men får då 5*4-19=1, dvs a=4 och b= -1. Men x,y,z ska ju vara ≥ 1...
Hur gör man här?
ytrewq skrev:Hej!
Jag undrar om jag hade kunnat få lite hjälp med en diofantisk ekvation som jag har fastnat på?
Uppgiften är:
Jag har skrivit att 3x+10y+0.5z=100 och x+y+z=100
Sen gjorde jag om första ekvationen för att bli av med halvtalet, dvs: 6x+20y+z=200
Om man ersätter z här med z från andra ekvationen så får man: 6x+20y+(100-x-y)=200,
dvs 5x+19y=100
Jag började försöka lösa 5x+19y=100 med Euklides algoritm men får då 5*4-19=1, dvs a=4 och b= -1. Men x,y,z ska ju vara ≥ 1...
Hur gör man här?
Jag ser en möjlig lösning med (x,y)=(1,5)
Multiplarna av 19 är 19, 38, 57, 76, 95 och de andra kan inte ge 5-tal vid subtraktion från 100.
Trinity2 skrev:ytrewq skrev:Hej!
Jag undrar om jag hade kunnat få lite hjälp med en diofantisk ekvation som jag har fastnat på?
Uppgiften är:
Jag har skrivit att 3x+10y+0.5z=100 och x+y+z=100
Sen gjorde jag om första ekvationen för att bli av med halvtalet, dvs: 6x+20y+z=200
Om man ersätter z här med z från andra ekvationen så får man: 6x+20y+(100-x-y)=200,
dvs 5x+19y=100
Jag började försöka lösa 5x+19y=100 med Euklides algoritm men får då 5*4-19=1, dvs a=4 och b= -1. Men x,y,z ska ju vara ≥ 1...
Hur gör man här?
Jag ser en möjlig lösning med (x,y)=(1,5)
Multiplarna av 19 är 19, 38, 57, 76, 95 och de andra kan inte ge 5-tal vid subtraktion från 100.
Är det en lösning du ser direkt? Jag tror jag är för dålig på aritmetik för att kunna se svaret direkt eller via såna slags resonemang... Finns det någon systematisk metod?
ytrewq skrev:Trinity2 skrev:ytrewq skrev:Hej!
Jag undrar om jag hade kunnat få lite hjälp med en diofantisk ekvation som jag har fastnat på?
Uppgiften är:
Jag har skrivit att 3x+10y+0.5z=100 och x+y+z=100
Sen gjorde jag om första ekvationen för att bli av med halvtalet, dvs: 6x+20y+z=200
Om man ersätter z här med z från andra ekvationen så får man: 6x+20y+(100-x-y)=200,
dvs 5x+19y=100
Jag började försöka lösa 5x+19y=100 med Euklides algoritm men får då 5*4-19=1, dvs a=4 och b= -1. Men x,y,z ska ju vara ≥ 1...
Hur gör man här?
Jag ser en möjlig lösning med (x,y)=(1,5)
Multiplarna av 19 är 19, 38, 57, 76, 95 och de andra kan inte ge 5-tal vid subtraktion från 100.
Är det en lösning du ser direkt? Jag tror jag är för dålig på aritmetik för att kunna se svaret direkt eller via såna slags resonemang... Finns det någon systematisk metod?
Här är det rimligt intervall (0...100) så i steg om 19 så kan man max ta det 5 ggr innan man är uppe runt 100. Det är värre om det är 0...5000. Jag tog nog bara den enkla vägen och kanske det finns en mera metodisk med E. algoritm. Jag måste rusa ut just nu men skall fundera mera, om inte någon annan svarar före, senare ikväll. Jag föredrar metodik före "partikulärlösningar", men här visade det sig effektivt.
PS. Jag är usel på aritmetik. Därför är 'metodik' bättre.
När man har 5x+19y=100=5x20 så måste 19y också ha en delare 5, och det måste vara just 5 för 2x5 blir för mycket.
Om du har löst en diofantisk ekvation ax+by = c och fått x0 och y0 så är x = x0+kb och y = y0-ka också en lösning, för heltalsvärden på k.
Laguna skrev:Om du har löst en diofantisk ekvation ax+by = c och fått x0 och y0 så är x = x0+kb och y = y0-ka också en lösning, för heltalsvärden på k.
Jag har fått att (a,b) = (4-19n, -1+5n) för heltal n. Betyder det att man här kan experimentera sig fram till ett a och b-värde där båda är positiva? Förstår dock inte hur, för om man gör b positiv (tex n = 2, så b = 9) så blir istället a negativ (i så fall a = -34)
5x+19y = 1 har de lösningarna som du angav, men du hade 100 i högerledet från början, så grundlösningen blir (400, -100). Samtliga lösningar till den ekvationen är (400-19n, -100+5n). Då ska man nog hitta positiva a och b.
Laguna skrev:5x+19y = 1 har de lösningarna som du angav, men du hade 100 i högerledet från början, så grundlösningen blir (400, -100). Samtliga lösningar till den ekvationen är (400-19n, -100+5n). Då ska man nog hitta positiva a och b.
Ahh juste! Jag förstår, tack snälla! :)
