Diskret matematik kombinationer och permutationer

Kalla de sju kvinnorna A,B,C,D,E,F,G och de sex männen H,I,J,K,L,M

Om vi då använder din metod till två urval kan det först börja så här:

"välj först en kvinna det kan göras på 7 olika sätt" - vi väljer A

"välj man eller en kvinna detta kan göras på 12 olika sätt" vi väljer B och H

Eller så kan det börja så här:

"välj först en kvinna det kan göras på 7 olika sätt" - vi väljer B

"välj man eller en kvinna detta kan göras på 12 olika sätt" vi väljer A och H

Nu har vi gjort samma urval men räknat det som två olika. Det är därför det blir för stort antal.

SvanteR skrev :

Kalla de sju kvinnorna A,B,C,D,E,F,G och de sex männen H,I,J,K,L,M

Om vi då använder din metod till två urval kan det först börja så här:

"välj först en kvinna det kan göras på 7 olika sätt" - vi väljer A

"välj man eller en kvinna detta kan göras på 12 olika sätt" vi väljer B och H

Eller så kan det börja så här:

"välj först en kvinna det kan göras på 7 olika sätt" - vi väljer B

"välj man eller en kvinna detta kan göras på 12 olika sätt" vi väljer A och H

Nu har vi gjort samma urval men räknat det som två olika. Det är därför det blir för stort antal.

okej så de är alltså för att jag räknar med samma kombinationer av personer flera gånger? Eftersom den ordningen vi väljer inte spelar någon roll så är ABH = BAH? Har jag fattat dig rätt då?

Och eftersom ordningen inte spelar någon roll så kan vi omformulera lösningen till två steg

Välj först en kvinna kan göras på 7 olika sätt.

Fyll de resterande 3 platserna med ett urval av 12 personer detta kan göras på C(12,3) sätt

så 7 * C(12,3)

Det känns som att man räknar samma kommitté flera gånger om man kommer fram till 1540.

Om vi kallar männen för A, och kvinnorna B

och individerna a1, a2.., a6

b1,..., b7. 

Om vi först skulle välja ut b1, och sedan väljer tre personer från de tolv återstående, kan vi ju lyckas välja b2, b3, b4. 

Om vi istället väljer b2 först  och sedan b1, b3, b4 får vi samma kommitté. 

Rätta mig gärna om jag har fel, men borde inte antalet sätt att välja en kommitté på fyra personer (oavsett kön) vara (13 choose 4)? Och antalet sätt att välja en kommitté med bara män (6 choose 4)?

Då blir antalet kommittéer med minst en kvinna:

(13 choose 4)- (6 choose 4), eller alternativt:

Såhär

Varför är det  inte rätt? 

pi-streck=en-halv skrev :

Det känns som att man räknar samma kommitté flera gånger om man kommer fram till 1540.

Om vi kallar männen för A, och kvinnorna B

och individerna a1, a2.., a6

b1,..., b7. 

Om vi först skulle välja ut b1, och sedan väljer tre personer från de tolv återstående, kan vi ju lyckas välja b2, b3, b4. 

Om vi istället väljer b2 först  och sedan b1, b3, b4 får vi samma kommitté. 

Rätta mig gärna om jag har fel, men borde inte antalet sätt att välja en kommitté på fyra personer (oavsett kön) vara (13 choose 4)? Och antalet sätt att välja en kommitté med bara män (6 choose 4)?

Då blir antalet kommittéer med minst en kvinna:

(13 choose 4)- (6 choose 4), eller alternativt:

Såhär

Varför är det  inte rätt? 

Håller med, det måste stämma. 

monkeymanXD94, är du säker på att du skrivit av frågan och facit rätt? Hur har facit i så fall kommit fram till 1540?

_Elo_ skrev :

pi-streck=en-halv skrev :

Det känns som att man räknar samma kommitté flera gånger om man kommer fram till 1540.

Om vi kallar männen för A, och kvinnorna B

och individerna a1, a2.., a6

b1,..., b7. 

Om vi först skulle välja ut b1, och sedan väljer tre personer från de tolv återstående, kan vi ju lyckas välja b2, b3, b4. 

Om vi istället väljer b2 först  och sedan b1, b3, b4 får vi samma kommitté. 

Rätta mig gärna om jag har fel, men borde inte antalet sätt att välja en kommitté på fyra personer (oavsett kön) vara (13 choose 4)? Och antalet sätt att välja en kommitté med bara män (6 choose 4)?

Då blir antalet kommittéer med minst en kvinna:

(13 choose 4)- (6 choose 4), eller alternativt:

Såhär

Varför är det  inte rätt? 

Håller med, det måste stämma. 

monkeymanXD94, är du säker på att du skrivit av frågan och facit rätt? Hur har facit i så fall kommit fram till 1540?

Jag håller också med. Rätt svar bör vara 700.

pi-streck=en-halv skrev :

Det känns som att man räknar samma kommitté flera gånger om man kommer fram till 1540.

Om vi kallar männen för A, och kvinnorna B

och individerna a1, a2.., a6

b1,..., b7. 

Om vi först skulle välja ut b1, och sedan väljer tre personer från de tolv återstående, kan vi ju lyckas välja b2, b3, b4. 

Om vi istället väljer b2 först  och sedan b1, b3, b4 får vi samma kommitté. 

Rätta mig gärna om jag har fel, men borde inte antalet sätt att välja en kommitté på fyra personer (oavsett kön) vara (13 choose 4)? Och antalet sätt att välja en kommitté med bara män (6 choose 4)?

Då blir antalet kommittéer med minst en kvinna:

(13 choose 4)- (6 choose 4), eller alternativt:

Såhär

Varför är det  inte rätt? 

jag följer inte riktigt med. är okej med att sättet att välja ut en grupp av 4 unika personer från ett total av 13 personer är C(13,4) och på samma sätt att välja ut 4 personer av en grupp med 6 personer totalt är C(6,4) 

Men hur får du fram rätt resultat när du subtraherar grupperna? hade det exempelvis vart "minst 2 kvinnor" hur hade vi gjort då? C(13,4) - 2C(6,4) ? 

för övrigt är jag säker på att facit säger 1540 och att frågan är rätt men det kan ju stå fel.

Om antalet unika kommittéer på $4$ personer från $13$ personer är $C(13,4) = 715$, så måste ju antalet unika kommittéer med restriktionen att minst en kvinna måste vara med, vara färre.

Mängden av unika kommittéer $M$, vars kardinalitet är $C(13,4)$, kan delas in i två disjunkta delmängder. Den ena delmängden består av de kommittéer där endast män ingår $M_{k=0}$ , och den andra delmängden består av de kommittéer där minst en kvinna ingår $M_{k \geq 1}$. Det är självklart(?) att dessa delmängder är disjunkta (inget överlapp). 

Då är $|M| = |M_{k=0}| + |M_{k \geq 1}|$ och $|M_{k \geq 1}| = |M| - |M_{k=0}|$

Mängden $M$ kan delas in i andra disjunkta delmängder, nämligen

$M_0 = M_{k=0}$: Ingen kvinna är med. 4 män är med.

$M_1$: Exakt en kvinna är med, och exakt tre män är med.

$M_2$: Exakt två kvinnor är med, och exakt två män är med.

...

$M_4$: Exakt fyra kvinnor är med, och exakt 0 män är med.

Så,

$M_{k \geq 1} = |M_1| + |M_2| + |M_3| + |M_4|$

där $|M_i| = C(7,i) \cdot C(6, 4-i)$.

Så,

$M_{k \geq 2} = |M_2| + |M_3| + |M_4|$