Divergensen och rotation av hastighetsfält och accelerationsfält

Olika alternativ.

Alt 1: Identiter

När man är inne på 3:e/4:e året av en vektorkalkylintensiv ingenjörsutbildning har man ofta lärt sig eller känner diverse vektorkalkylidentieter. Drygt hälften följer bara samma mönster som produktregeln (fg)' = f'g + g'f så man behöver inte egentligen memorera alla.

Med denna metod så har vi

$\nabla \cdot (\mathbf a \times \mathbf b) = (\nabla \times \mathbf a) \cdot \mathbf b - \mathbf a \cdot (\nabla \times \mathbf b)$

$\nabla \times (\mathbf a \times \mathbf b) = \mathbf a (\nabla \cdot \mathbf b) - \mathbf b (\nabla \cdot \mathbf a) + (\mathbf b \cdot \nabla)\mathbf a - (\mathbf a \cdot \nabla) \mathbf b$

och sedan så är återkommande identieter att

$\nabla \cdot \mathbf r = 3$

$\nabla \times \mathbf r = 0$

$\nabla r = \hat{\mathbf{\mathbf r}}$

vilka är rätt lätta att härleda.

Sedan köttar man bara på med dessa identieter. Eftersom $\mathbf \omega$ är en konstant vektor blir nästan alla termer 0.

Alternativ 2 Fakta: Man kan memorera fakta om speciella fält och kan dem utantill. 

Stelrotationsfältet i exempel är ett av de återkommande grundfälten i fysik och har därmed egenskaper man med fördel kan lära sig utantill. Det är exempelvis lösningen till $\nabla A = konstant$-ekvationen och är välkänt som ett divergensfritt fält med konstant rotation som dyker upp i elektrodynamiken med exempelvis Faradays lag och Amperes lag

Ramgaard diskuterar stelkroppsrotation som EXEMPLET på ett fält vars rotation har en konkret geometrisk tolkning korresponderande på sidor 74-76.

Mathews i Vector Calculus gör detsamma om än i kortare format i avsnitt 3.4.1 på sida 60

Man kan därmed memorer svaren på div v och rot v utantill och sedan tillämpa dem på div a och div a som man kanske inte memorerat.

Alternativ 3: Komponentanalys.

I detta fall så får man skriva ut $v$ i koordinater, exempelvis kartesiska där vi väljer $\mathbf \omega = \omega (0,0,1)$ och $\mathbf x = (x,y,z)$, utför kryssprodukten med determinantregeln  och sedan använder man koordinatrepresentationen för analysen.

Detta är effektivt vad Ramgaard gör i sin presentation.

Du kan även använda indexnotation.

$\nabla ·\overrightarrow{A}={\partial }_k{A}_k=A_{k, k}$. ${\left(\nabla \times \overrightarrow{A}\right)}_k={\epsilon }_{kij}{\partial }_i{A}_j$.

Till exempel.

$\nabla ·\left(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}\right)={\partial }_k\left({\epsilon }_{kij}{\omega }_i{x}_j\right)={\epsilon }_{kij}{\omega }_i{\delta }_{jk}={\epsilon }_{kik}{\omega }_i=0.$

PATENTERAMERA skrev:

Du kan även använda indexnotation.

$\nabla ·\overrightarrow{A}={\partial }_k{A}_k=A_{k, k}$. ${\left(\nabla \times \overrightarrow{A}\right)}_k={\epsilon }_{kij}{\partial }_i{A}_j$.

Till exempel.

$\nabla ·\left(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}\right)={\partial }_k\left({\epsilon }_{kij}{\omega }_i{x}_j\right)={\epsilon }_{kij}{\omega }_i{\delta }_{jk}={\epsilon }_{kik}{\omega }_i=0.$

Jo tack det gjorde jag. Det funkade utmärkt och uppgiften löste sig tack vare det.