Divergent/konvergent serie

Som serien står har vi enligt loglagarna  ln(n)³ = 3 ln(n) <= n som  ger  1/ln(n)³ >= 1/3n som är omvittnat divergent (konst. *harmoniska serien). Emellertid upplever jag en otydlighet här: menar man som ovan, att exponenten avser enbart argumentet i ln eller menar man att den gäller hela ln(n)? I så fall borde man satt ut parentes så att det blir (ln(n))³, varvid saken kommer i ett annat läge.

Ja, jag har tänkt att det är $(\ln {\left(n\right))}^3$ (något jag förövrigt aldrig sett förut)? Vet inte hur jag skulle hantera det uttrycket heller men vill gärna slippa partiellt integrera den där fulingen.

Här är uppgiften, iii)

Ja om trean står utanför parantesen är det $(\ln {\left(n\right))}^3$. Annars hade det stått $\ln \left(n^3\right)$.

Så Tomtens lösning funkar.

Fast egentligen är uppgiften trasig (kolla på första termen i summan)

Tomten utgår ju i sin lösning från att det är $\ln \left(n^3\right)$och inte $(\ln {\left(n\right))}^3$?

Och ja, jag vet att den inte är definierad i startvärdet n=1 varför serien börjar på n=2? väl?

dellifin skrev:

Tomten utgår ju i sin lösning från att det är $\ln \left(n^3\right)$och inte $(\ln {\left(n\right))}^3$?

Ahh sorry jag läste fel där, då blir det lite svårare. Försök hitta ett stort N så att ln(n)^3 <= n för alla n >= N. ln(n)^3 växer nämligen långsammare än n. Sedan kan du dela upp summan i n < N och n >= N, och använda Tomtens lösning på den andra delen.

Ja serien borde börja vid n=2 eller större för att vara definierad, men det står ju n=1 i uppgiften... så om du skulle svara "den är odefinierad" så är det ju inte fel...

Kan du visa att ln(n) växer långsammare än n^1/3?

Ja, om jag tittar på derivatorna. $$\begin{gathered} f\left(x\right) = \ln \left(n\right), f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{n} \\ g\left(x\right)=\sqrt[3]{n}, g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3n^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}} \end{gathered}$$

och $\frac{1}{3n^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}\le \frac{1}{n}$

Frågan är om det räcker visa ovanst. Om man vill visa konvergens har vi t ex: 1/6n <=1/n för alla n, men serien med termerna 1/6n är lika divergent som den harmoniska serien. Å andra sidan om man vill visa divergens så går olikheterna åt fel håll. Man behöver a_n >=1/n

Jag hade försökt hitta ett n där n^1/3 redan växt om ln och delat i 2 summor. Då är den termvis större och lätt att motivera olikheten.