Divergerar eller konvergerar summan?

$\frac{1}{3^k}={\left(\frac{1}{3}\right)}^k$

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{1}{3^k}={\left(\frac{1}{3}\right)}^k$

Ja såklart  🤦‍♀️Kan inte fatta att jag missade det...

Men det blir fortfarande fel:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^k*1$

Sätter in det då tycker jag det blir $\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}}}$

Men det är fel svar ;(

$S_N=\sum _{k=1}^N\frac{1}{3^k}$.

Vi kan nu skriva S_N+1 på två sätt.

$S_{N+1}=S_N+\frac{1}{3^{N+1}}$

$S_{N+1}=\frac{1}{3}{S}_N+\frac{1}{3}$.

Lös nu ut S_N från de två sista ekvationerna.

PATENTERAMERA skrev:

$S_N=\sum _{k=1}^N\frac{1}{3^k}$.

Vi kan nu skriva S_N+1 på två sätt.

$S_{N+1}=S_N+\frac{1}{3^{N+1}}$

$S_{N+1}=\frac{1}{3}{S}_N+\frac{1}{3}$.

Lös nu ut S_N från de två sista ekvationerna.

Ja då blir det rätt, den formeln som var angiven gäller endast för $\left|x\right|<1$och n går mot oändligheten då den termen blir mindre och mindre.

(Det är viktigt att läsa noggrant :/)

För geometriska summor då $\left|x\right|$inte är mindre än 1 ska man alltså använda geometrisk-summa formeln:

Det som var angivet var alltså ett specialfall av denna formel 

Edit: OBS: Denna summa formell gäller från k=0 så om serien börjar för k=1 måste man faktorisera ut den!

Ja, det ser ut att vara korrekt.