DivrotA och rot(phiA) mha nablaräkning

På a) uppgiften kom du fram till $\varepsilon_{ijk}A_k\partial_j\phi$ som första term, vilket är

$\nabla \phi\times (A)=-A\times (\nabla \phi)$ (kryssprodukten är antikommutativ).

Tänk på att ordningen av de ingående termerna inte spelar någon roll i indexnotationen, det som avgör är vilka index som kontraheras och i vilken ordning indexen står. I din term är $i$ ett fritt index och index $k$ står efter $j$ i Levi-Civita.

På c) verkar du ha använt en sorts produktregel på deriveringsoperatorn?

Det gäller att

$\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_jA_k=\frac{1}{2}(\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_jA_k+\varepsilon_{ijk}\partial_j\partial_iA_k)$

Eftersom de partiella derivatorna kommuterar. Därifrån kan man visa att kontraktionen mellan den antisymmetriska $\varepsilon_{ijk}$ och den symmetriska $\partial_i\partial_jA_k$ blir noll.

Detta gäller faktiskt allmänt då man kontraherar en antisymmetrisk tensor med en symmetrisk tensor (över samma indexpar). 

D4NIEL skrev:

På a) uppgiften kom du fram till $\varepsilon_{ijk}A_k\partial_j\phi$ som första term, vilket är

$\nabla \phi\times (A)=-A\times (\nabla \phi)$ (kryssprodukten är antikommutativ).

Tänk på att ordningen av de ingående termerna inte spelar någon roll i indexnotationen, det som avgör är vilka index som kontraheras och i vilken ordning indexen står. I din term är $i$ ett fritt index och index $k$ står efter $j$ i Levi-Civita.

På c) verkar du ha använt en sorts produktregel på deriveringsoperatorn?

Det gäller att

$\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_jA_k=\frac{1}{2}(\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_jA_k+\varepsilon_{ijk}\partial_j\partial_iA_k)$

Eftersom de partiella derivatorna kommuterar. Därifrån kan man visa att kontraktionen mellan den antisymmetriska $\varepsilon_{ijk}$ och den symmetriska $\partial_i\partial_jA_k$ blir noll.

Detta gäller faktiskt allmänt då man kontraherar en antisymmetrisk tensor med en symmetrisk tensor (över samma indexpar). 

I a) har jag fått A x nabla (phi) så jag antar att facit tänker på den där regeln med kryssprodukten att a×b=-b×a? Isådantfall blir det ju -nabla(phi)×A för min del. 

Ja i c) använde jag av produktregeln på differentialoperatorn. Varför skriver man om som du gjorde?  Funkar inte mitt sätt också? Ja juste du kanske tänker på det här med e_ijk=-e_jik  för om man  byter plats på i och j så får man ju att termen 1/2(eijkdidjAk-ejikdjdiAk)=0

a) Du har fått $\varepsilon_{ijk}A_k\partial_j\phi=\varepsilon_{ijk}\partial_j\phi A_k$. Notera att du inte har någon ordning mellan $A_k$ och $\partial_j\phi$. Det som låser ordningen är indexen.

Det är samma sak som $\nabla \phi \times A$. 

c) Ja, och slutligen kan du byta namn på $i,j$ så har du visat att uttrycket blir 0.

D4NIEL skrev:

a) Du har fått $\varepsilon_{ijk}A_k\partial_j\phi=\varepsilon_{ijk}\partial_j\phi A_k$. Notera att du inte har någon ordning mellan $A_k$ och $\partial_j\phi$. Det som låser ordningen är indexen.

Det är samma sak som $\nabla \phi \times A$. 

c) Ja, och slutligen kan du byta namn på $i,j$ så har du visat att uttrycket blir 0.

Men vad ska jag ändra i a)? Men blir inte A×nabla(phi)=-nabla(phi)×A?

Du hade ju fått rätt uttryck i indexnotation men översatt det med fel tecken när du gick över till vektornotation.

$\varepsilon_{ijk}A_k\partial_j\phi$ motsvarar $\left(\nabla \phi\right) \times A$
$\varepsilon_{ijk}A_j\partial_k\phi$ motsvarar $A \times \left(\nabla \phi\right)$

D4NIEL skrev:

Du hade ju fått rätt uttryck i indexnotation men översatt det med fel tecken när du gick över till vektornotation.

$\varepsilon_{ijk}A_k\partial_j\phi$ motsvarar $\left(\nabla \phi\right) \times A$
$\varepsilon_{ijk}A_j\partial_k\phi$ motsvarar $A \times \left(\nabla \phi\right)$

Men den andra termen är inte som du säger.  På andra raden så skall första termen bli som du först skrev men andra termen är det nabla A och inte phi. Andra termen borde bli phi×nabla(A)

När du säger "andra termen" menar du $\phi \varepsilon_{ijk}\partial_jA_k$ då?

$\phi \varepsilon_{ijk}\partial_jA_k$ motsvarar $\phi \left(\nabla \times A\right)$

Så för hela uttrycket får du:

$\varepsilon_{ijk}(A_k\partial_j\phi + \phi \partial_jAk)$ vilket motsvarar $(\nabla \phi)\times A+\phi \left (\nabla \times A\right)$

Du hade alltså fått rätt svar från början i indexnotation men fått ett teckenfel i översättningen till vektornotation. 

Man kan nu vända på första termen eftersom $a\times b = -b\times a$, då får man

$-A\times(\nabla \phi)+\phi \left (\nabla \times A\right)$

D4NIEL skrev:

När du säger "andra termen" menar du $\phi \varepsilon_{ijk}\partial_jA_k$ då?

$\phi \varepsilon_{ijk}\partial_jA_k$ motsvarar $\phi \left(\nabla \times A\right)$

Så för hela uttrycket får du:

$\varepsilon_{ijk}(A_k\partial_j\phi + \phi \partial_jAk)$ vilket motsvarar $(\nabla \phi)\times A+\phi \left (\nabla \times A\right)$

Du hade alltså fått rätt svar från början i indexnotation men fått ett teckenfel i översättningen till vektornotation. 

Man kan nu vända på första termen eftersom $a\times b = -b\times a$, då får man

$-A\times(\nabla \phi)+\phi \left (\nabla \times A\right)$

Ja precis det var den termen jag syftade på. Ok då förstår jag! Tack!