11 svar
146 visningar
mrlill_ludde 959
Postad: 11 sep 2019

does this curve correspond to a line or a circle?

Är det Möbius man ska ha då?


Men även så blir jag inte så klokare av den här definitionen ändå?

Så mina variabler är

a=2,b=4,c=2,d=0a = 2, b=4, c=2, d=0

och z=u+ivz=u+iv där u=2,v=0u=2, v=0 eller? Fast, hur ska man sedan se att det är linje eller cirkel? 

Försök tänka lite istället, och se det lite geometriskt! Om ett plan och en sfär skär varandra, vilken form har skärningskurvan?

mrlill_ludde 959
Postad: 11 sep 2019
Smaragdalena skrev:

Försök tänka lite istället, och se det lite geometriskt! Om ett plan och en sfär skär varandra, vilken form har skärningskurvan?

Smaragdalena 28156 – Moderator
Postad: 11 sep 2019 Redigerad: 11 sep 2019

Tänk lite själv i stället för att leta upp en illustration som inte har något med uppgiften att göra. Om du delar en sfär, säg en apelsin, med ett plan, säg ett knivsnitt, vilken form har du snittytan? Om du inte kan tänka dig svaret, så gå ut i köket och testa!

mrlill_ludde 959
Postad: 11 sep 2019
Smaragdalena skrev:

Tänk lite själv i stället för att leta upp en illustration som inte har något med uppgiften att göra. Om du delar en sfär, säg en apelsin, med ett plan, säg ett knivsnitt, vilken form har du snittytan? Om du inte kan tänka dig svaret, så gå ut i köket och testa!

Men då e ju svaren isf oavsett planens form (ekvation?) en cirkel??

Ja. Antingen så är skärningskurvan en cirkel, eller så är det en punkt, eller så skär de inte varandra alls.

Fast jag läste lite slarvigt - man frågade efter om kurvans projektion i det komplexa planet är en cirkel eller en linje - om man tittar på halvmånen så kan faktiskt snittytan se ut som en rät linje. Då kan man skriva om frågan till "Är planet i uppgiften vinkelrätt mot det komplexa planet?".

Så min första tanke var fel, det kan under vissa omständigheter vara en rät linje.

oggih 355 – F.d. Moderator
Postad: 11 sep 2019 Redigerad: 11 sep 2019

Jag tror Smaragdalena har missförstått frågan, för här räcker apelsinstudier inte hela vägen (såvida man inte har turen att få tag på apelsiner som innehåller en kopia av det komplexa talplanet :-) ).

Vi talar ju faktiskt inte om vilken sketen sfär som helst utan Riemannsfären ^\hat{\mathbb{C}}!


Ett sätt att tänka sig Riemannsfären geometriskt är som enhetssfären S2={(x,y,z):x2+y2+z2=1}S^2=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\} i 3\mathbb{R}^3. Detta är en bra början, men det är bara en sida av myntet. Det som gör Riemannsfären till Riemannsfären är att det finns en koppling till det komplexa talplanet (vilket även är anledningen till att man ofta använder symbolen ^\hat{\mathbb{C}}).

Idén är att stereografiskt projicera ner enhetssfären på xyxy-planet från nordpolen (0,0,1)(0,0,1), och sedan identifera xyxy-planet med det vanliga komplexa talplanet \mathbb{C}. Detta ger oss en bijektion Φ:S2{(0,0,1)}\Phi: S^2\setminus\{(0,0,1)\}\to \mathbb{C} som ges av formeln

   Φ(x,y,z)=x1-z+iy1-z.\Phi(x,y,z)=\frac{x}{1-z} + i\frac{y}{1-z}\,.

Det betyder alltså att vi kan tänka oss Riemannsfären som en sfär där vi har tryckt in hela det komplexa talplanet på ett sådant sätt att hela sfären utom nordpolen täcks.

Och nordpolen då, hur ska vi tänka oss den?

Idén där, är att observera att att ju närmare norpolen vi kommer på sfären, desto längre iväg från origo i det komplexa talplanet hamnar vi när vi utför vår stereografiska projektion. På något vis tycks norpolen alltså ligga "oändligt långt borta" i talplanet.

Man brukar därför lägga till en oändlighetspunkt \infty till det komplexa talplanet, sätta ^={}\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty\} och sedan utvidga bijektionen ovan till Φ:S2C^\Phi:S^2\to\hat\mathbb{C} genom att deklarera Φ(0,0,1)=\Phi(0,0,1)=\infty.

Och där, där har vi (typ) den fullständiga bilden av Riemannsfären. Det är det komplexa talplanet med en oändlighetspunkt, format som en sfär.


Det finns mycket, mycket mer spännande att säga om Riemannsfären (som dels är ett användbart verktyg inom komplex analys, och dels är ett prototypiskt exempel inom både differentialgeometri och algebraisk geometri om man utrustar den med extra matematisk struktur), men poängen med ovanstående är att det i huvudsak finns två olika sätt att se på den.

Antingen som den vanliga enhetssfären S2S^2, eller som det komplexa talplanet med en extra punkt "oändligt långt borta".

Frågan vi nu ställs inför handlar om vad som händer när vi byter perspektiv. Som ni redan har kommit fram till så uppstår det en cirkel (eller bara en punkt) när man skär S2S^2 med ett plan. Vad motsvarar en sådan cirkel för något i C^\hat\mathbb{C}? Kommer Φ\Phi att mappa cirklar till cirklar, eller kommer kanske några cirklar att förvandlas till linjer...?

Bilder som kan leda dig i rätt riktning finns i den här Math Stackexchange-tråden. Något som visar sig spela stor roll är huruvida cirkeln i S2S^2 går igenom nordpolen (aka ändlighetspunkten i C^\hat\mathbb{C}).

Edit: Ser att Smaragdalena också verkar hålla med! :-) Dock är jag inte helt överens med henne om att det bara handlar om huruvida planet är vinkelrätt mot xy-planet?

mrlill_ludde 959
Postad: 15 sep 2019
oggih skrev:

Jag tror Smaragdalena har missförstått frågan, för här räcker apelsinstudier inte hela vägen (såvida man inte har turen att få tag på apelsiner som innehåller en kopia av det komplexa talplanet :-) ).

Vi talar ju faktiskt inte om vilken sketen sfär som helst utan Riemannsfären ^\hat{\mathbb{C}}!


Ett sätt att tänka sig Riemannsfären geometriskt är som enhetssfären S2={(x,y,z):x2+y2+z2=1}S^2=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\} i 3\mathbb{R}^3. Detta är en bra början, men det är bara en sida av myntet. Det som gör Riemannsfären till Riemannsfären är att det finns en koppling till det komplexa talplanet (vilket även är anledningen till att man ofta använder symbolen ^\hat{\mathbb{C}}).

Idén är att stereografiskt projicera ner enhetssfären på xyxy-planet från nordpolen (0,0,1)(0,0,1), och sedan identifera xyxy-planet med det vanliga komplexa talplanet \mathbb{C}. Detta ger oss en bijektion Φ:S2{(0,0,1)}\Phi: S^2\setminus\{(0,0,1)\}\to \mathbb{C} som ges av formeln

   Φ(x,y,z)=x1-z+iy1-z.\Phi(x,y,z)=\frac{x}{1-z} + i\frac{y}{1-z}\,.

Det betyder alltså att vi kan tänka oss Riemannsfären som en sfär där vi har tryckt in hela det komplexa talplanet på ett sådant sätt att hela sfären utom nordpolen täcks.

Och nordpolen då, hur ska vi tänka oss den?

Idén där, är att observera att att ju närmare norpolen vi kommer på sfären, desto längre iväg från origo i det komplexa talplanet hamnar vi när vi utför vår stereografiska projektion. På något vis tycks norpolen alltså ligga "oändligt långt borta" i talplanet.

Man brukar därför lägga till en oändlighetspunkt \infty till det komplexa talplanet, sätta ^={}\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty\} och sedan utvidga bijektionen ovan till Φ:S2C^\Phi:S^2\to\hat\mathbb{C} genom att deklarera Φ(0,0,1)=\Phi(0,0,1)=\infty.

Och där, där har vi (typ) den fullständiga bilden av Riemannsfären. Det är det komplexa talplanet med en oändlighetspunkt, format som en sfär.


Det finns mycket, mycket mer spännande att säga om Riemannsfären (som dels är ett användbart verktyg inom komplex analys, och dels är ett prototypiskt exempel inom både differentialgeometri och algebraisk geometri om man utrustar den med extra matematisk struktur), men poängen med ovanstående är att det i huvudsak finns två olika sätt att se på den.

Antingen som den vanliga enhetssfären S2S^2, eller som det komplexa talplanet med en extra punkt "oändligt långt borta".

Frågan vi nu ställs inför handlar om vad som händer när vi byter perspektiv. Som ni redan har kommit fram till så uppstår det en cirkel (eller bara en punkt) när man skär S2S^2 med ett plan. Vad motsvarar en sådan cirkel för något i C^\hat\mathbb{C}? Kommer Φ\Phi att mappa cirklar till cirklar, eller kommer kanske några cirklar att förvandlas till linjer...?

Bilder som kan leda dig i rätt riktning finns i den här Math Stackexchange-tråden. Något som visar sig spela stor roll är huruvida cirkeln i S2S^2 går igenom nordpolen (aka ändlighetspunkten i C^\hat\mathbb{C}).

Edit: Ser att Smaragdalena också verkar hålla med! :-) Dock är jag inte helt överens med henne om att det bara handlar om huruvida planet är vinkelrätt mot xy-planet?

 

Är det så man tänker då? 

Är gröna bollen är xyxy-planet. då? 

 

Stack sa:

 

Men om man tar mina uppgifter: 2x1+4x2+2x3=22_x1 + 4x_2 + 2x_3 = 2 ..

Men hur ska man göra?

mrlill_ludde 959
Postad: 15 sep 2019
mrlill_ludde skrev:
oggih skrev:

Jag tror Smaragdalena har missförstått frågan, för här räcker apelsinstudier inte hela vägen (såvida man inte har turen att få tag på apelsiner som innehåller en kopia av det komplexa talplanet :-) ).

Vi talar ju faktiskt inte om vilken sketen sfär som helst utan Riemannsfären ^\hat{\mathbb{C}}!


Ett sätt att tänka sig Riemannsfären geometriskt är som enhetssfären S2={(x,y,z):x2+y2+z2=1}S^2=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\} i 3\mathbb{R}^3. Detta är en bra början, men det är bara en sida av myntet. Det som gör Riemannsfären till Riemannsfären är att det finns en koppling till det komplexa talplanet (vilket även är anledningen till att man ofta använder symbolen ^\hat{\mathbb{C}}).

Idén är att stereografiskt projicera ner enhetssfären på xyxy-planet från nordpolen (0,0,1)(0,0,1), och sedan identifera xyxy-planet med det vanliga komplexa talplanet \mathbb{C}. Detta ger oss en bijektion Φ:S2{(0,0,1)}\Phi: S^2\setminus\{(0,0,1)\}\to \mathbb{C} som ges av formeln

   Φ(x,y,z)=x1-z+iy1-z.\Phi(x,y,z)=\frac{x}{1-z} + i\frac{y}{1-z}\,.

Det betyder alltså att vi kan tänka oss Riemannsfären som en sfär där vi har tryckt in hela det komplexa talplanet på ett sådant sätt att hela sfären utom nordpolen täcks.

Och nordpolen då, hur ska vi tänka oss den?

Idén där, är att observera att att ju närmare norpolen vi kommer på sfären, desto längre iväg från origo i det komplexa talplanet hamnar vi när vi utför vår stereografiska projektion. På något vis tycks norpolen alltså ligga "oändligt långt borta" i talplanet.

Man brukar därför lägga till en oändlighetspunkt \infty till det komplexa talplanet, sätta ^={}\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty\} och sedan utvidga bijektionen ovan till Φ:S2C^\Phi:S^2\to\hat\mathbb{C} genom att deklarera Φ(0,0,1)=\Phi(0,0,1)=\infty.

Och där, där har vi (typ) den fullständiga bilden av Riemannsfären. Det är det komplexa talplanet med en oändlighetspunkt, format som en sfär.


Det finns mycket, mycket mer spännande att säga om Riemannsfären (som dels är ett användbart verktyg inom komplex analys, och dels är ett prototypiskt exempel inom både differentialgeometri och algebraisk geometri om man utrustar den med extra matematisk struktur), men poängen med ovanstående är att det i huvudsak finns två olika sätt att se på den.

Antingen som den vanliga enhetssfären S2S^2, eller som det komplexa talplanet med en extra punkt "oändligt långt borta".

Frågan vi nu ställs inför handlar om vad som händer när vi byter perspektiv. Som ni redan har kommit fram till så uppstår det en cirkel (eller bara en punkt) när man skär S2S^2 med ett plan. Vad motsvarar en sådan cirkel för något i C^\hat\mathbb{C}? Kommer Φ\Phi att mappa cirklar till cirklar, eller kommer kanske några cirklar att förvandlas till linjer...?

Bilder som kan leda dig i rätt riktning finns i den här Math Stackexchange-tråden. Något som visar sig spela stor roll är huruvida cirkeln i S2S^2 går igenom nordpolen (aka ändlighetspunkten i C^\hat\mathbb{C}).

Edit: Ser att Smaragdalena också verkar hålla med! :-) Dock är jag inte helt överens med henne om att det bara handlar om huruvida planet är vinkelrätt mot xy-planet?

 

Är det så man tänker då? 

Är gröna bollen är xyxy-planet. då? 

 

Stack sa:

 

Men om man tar mina uppgifter: 2x1+4x2+2x3=22_x1 + 4x_2 + 2x_3 = 2 ..

Men hur ska man göra?

Rätt svar är iallafall Circle, Line

PATENTERAMERA 187
Postad: 15 sep 2019 Redigerad: 15 sep 2019

Fallet då det blir en linje är enkelt att förstå. Det är också klart att man får en cirkel i planet om cirkeln på Riemannsfären är parallell med det komplexa planet. Men varför är det självklart att en cirkel som inte går genom nordpolen och inte är parallell med planet mappas mot en cirkel i planet? Skulle det inte kunna vara en oval eller något annat?

mrlill_ludde 959
Postad: 15 sep 2019
PATENTERAMERA skrev:

Fallet då det blir en linje är enkelt att förstå. Det är också klart att man får en cirkel i planet om cirkeln på Riemannsfären är parallell med det komplexa planet. Men varför är det självklart att en cirkel som inte går genom nordpolen och inte är parallell med planet mappas mot en cirkel i planet? Skulle det inte kunna vara en oval eller något annat?

Vill du (kan man?) visa det mha algebra ?

oggih 355 – F.d. Moderator
Postad: 16 sep 2019 Redigerad: 16 sep 2019

Jag tycker inte heller det känns självklart, vare sig i fallet när det blir en cirkel eller en linje, så jag tycker det är helt rätta takter att vilja kontrollera det! :-)

Tyvärr finns det nog inget helt supermysigt sätt att göra det på, utan det enklaste är nog att parametrisera* cirkeln i S2S^2, och sedan använda formeln för Φ:S2C^\Phi:S^2\to \hat\mathbb {C} från mitt tidigare inlägg för att få en parametrisering av något i C^\hat\mathbb {C}. Förhoppningsvis kan du sedan relativt enkelt se om det är en parametrisering av en linje, en cirkel eller något annat!

* Att 'parametrisera' en cirkel i rummet innebär att man uttrycker den som en kurva γ:[0,1]3\gamma: [0,1]\to \mathbb{R}^3. Exempelvis kan enhetscirkeln i xy-planet parametriseras som t(cos2πt,sin2πt,0)t \mapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t, 0) . En bra början brukar vara att bestämma cirkelns centrum och radie.

Svara Avbryt
Close