Dual avbildning - förstår inte definitionen

Hej, jag förstår inte en sak i den här definitionen

Det står att L* tar ett element från W* ( $ϕ$ ) och sen spottar ut $ϕ (L (x))$ där $L (x) \in W$

Jag förstår därmed inte hur $ϕ (L (x))$ $\in$ V*, per definition av den linjära formen $ϕ$ borde väl det elementet ligga i kroppen k?, dvs det borde bara vara ett tal?

Jag testade med notationen att se linjära former som radvektorer och då får man ju på samma sätt enbart att $ϕ (L (x))$ blir matrismultiplikation av en 1xm matris med en mx1 matris, men elementen i V* är ju med den definitonen 1xn matriser.

Vad är det jag tänker fel?

Jag har alltså tänkt att V är n-dimensionellt och W m-dimensionellt i fallet där jag såg de linjära formerna som matriser.

Du har rätt att det är ett tal. Du skall se det som att v = $L^{*} (ϕ)$ är ett element i $V^{*}$ (där $ϕ$ ligger i W^*) som kan verka på vektorn x i V. Och denna funktional v definieras av v(x) = $ϕ$ (L(x)).

Kanske är det tydligare att definiera det på detta vis

$L^{*} : W^{*} \to V^{*}, ϕ \in W^{*} \mapsto ϕ \circ L \in V^{*}$ . Notera att om $ϕ$ ligger i W^* så ligger $ϕ \circ L$ i V^*. Sedan måste man väl visa att det faktiskt är en linjär avbildning.

Ahhhh, tack så mycket, jag förvirrade mig just över att det stod $L * : W * \underset{}{\to V *}$

En bättre notation för själva L* hade väl då varit $L * (ϕ) = ϕ L$ , istället för det som stod i min definition?

Där man då får $L * (ϕ) : V * \underset{}{\to k}$ via $L * (ϕ) (-) = ϕ (L (-))$

Ja, precis. Man brukar ofta inte skriva ut ”ringen” för sammansättning av två linjära avbildningar utan bara skriva som du gör, så det är helt OK.

stort tack!

Svara Avbryt

Visa senaste svar