Dubbel integral - integrationsvägar

Hejsan!

Jag har följande dubbleintegral: $\iint \frac{dxdy}{{(1+x+y)}^2}$

Där D är rektanglen med hörn i $(0,0),(1,0),(1,2) \& (0,2)$

 

Lösningen som jag har gjort:${\int }_0^1\left({\int }_0^2\frac{dxdy}{{(1+x+y)}^2}dy\right)dx={\int }_0^1\left({\int }_{x+1}^{x+3}\frac{1}{{\left(u\right)}^2}du\right)dx$

Där $u=1+x+y, du=dy$

$\to {\int }_0^1\left({\left[\frac{1}{u}\right]}_{x+1}^{{}^{x+3}}\right)dx={\int }_0^1\left(-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+1}\right)dx={\int }_0^1\left(\frac{2}{(x+3)(x+1)}\right)dx$

$=2{\int }_0^1\left(-\frac{1}{2(x+3)}+\frac{1}{2(x+1)}\right)dx=2\left(\right(-\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{1}{u}du)+(\frac{1}{2}{\int }_3^4\frac{1}{u}du\left)\right)$

$=2(-\frac{1}{2}{[\ln u]}_1^2+\frac{1}{2}{[\ln u]}_3^4)=2(-\frac{1}{2}(\ln 2-\ln 1)+\frac{1}{2}(\ln 4-\ln 3\left)\right)=\ln 3-\ln 2$

Jag har en grundlig förståelse för hur man integrerar, byta koordinater osv. Jag har dock svårigheter att se vad integrationsgränserna blir. Hur kommer man fram till att integrationsgränserna blir från $x+1$ till$x+3$ för dy samt 1 till 2 och 3 till 4 för dx.

 

Tack på förhand!