2 svar
61 visningar
EulerWannabe 141
Postad: 22 dec 2020 13:11

Dubbelintegral

Bilden visar en åttondel av en sfär inom området D där 0 >= x >= 1 och 0 >= y >= 1.

f(x, y) = sqrt(1 - x^2 - y^2)

Jag ska bestämma dubbelintegralen, det vill säga volymen.

Jag försöker helt enkelt att integrera sqrt(1-x^2-y^2) med avseende på x först.

sqrt(1 - x^2 - y^2) dx =

[u = 1 - x^2 - y^2, du/dx = -2x, dx = du/(-2x)]

= (∫ u du) / (-2x) =

(2/3)*u^(3/2) / (-2x) =

-(1 - x^2 - y^2)^(3/2) / x

vilket verkar vara fel enligt Wolfram Alpha. Var gör jag fel? Hur tänker jag fel? Tacksam för hjälp!

Tomten 289
Postad: 23 dec 2020 18:01

 f verkar kontinuerlig på det slutna området D, så att man kan integrera stegvis som du tänkt. (Fubinis sats).  Det ser dock ut som att du behandlar (-2x) i nämnaren som en konstant, men den varierar ju när du integrerar m a p  x.  x behöver uttryckas i u, men då kan integranden bli besvärlig på riktigt.

Jroth 1191
Postad: 23 dec 2020 19:03

Den här uppgiften blir väldigt enkel i polära koordinater. Inför

x=rcos(θ)x=r\cos(\theta)

y=rsin(θ)y=r\sin(\theta)

f(r,θ)=1-r2f(r,\theta)=\sqrt{1-r^2}

Kan du ställa upp integralen och  gränserna? Glöm inte att multiplicera med funktionaldeterminanten från koordinatbytet.

Svara Avbryt
Close