dubbelintegral

Hej

jag har en uppgift med en dubbelintegral och har kommit en bit på vägen men förstår inte alla steg fullt ut.

Beräkna 

${\int }_0^{\infty }{\int }_1^2\frac{dxdy}{1+x^2{y}^2}, 1\le x\le 2, y\ge 0$

jag började med ett variabelbyte och satte 

$$\begin{gathered} xy=t \\ ydx=dt \\ dx=\frac{dt}{y} \end{gathered}$$

då skriver vi om integralen till ${\int }_0^{\infty }\frac{1}{y}{\int }_y^{2y}\frac{dtdy}{1+t^2}$

I nästa steg ska vi få ${\int }_0^{\infty }{{\overline{)arc\tan t}}^{2y}}_{y}dy = {\int }_0^{\infty }arc\tan 2y-arc\tan y dy$

sedan ser jag i boken att dom har delat upp i två integraler och får den första integralen $I_1$ till 

${\int }_0^{\infty }arc\tan ydy={\int }_0^{\infty }1*arc\tan ydy={{\overline{)yarc\tan y}}^{\infty }}_0-\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{2y}{1+y^2}dx$

och den andra integralen$I_2$ till ${\int }_0^{\infty }1*arc\tan 2ydy={{\overline{)yarc\tan 2y}}^{\infty }}_0-1{\int }_0^{\infty }\frac{2y}{1+4y^2}dy$

sedan ska man ta $I_2-I_1$

Jag är med delvis men inte helt. 

Jag förstår inte riktigt hur dom gör efter att ha delat upp i arctan2y-arctany. Det verkar som att dom börjar med att integrera -arctany men jag förstår inte riktigt stegen dom tar för att komma till $-\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{2y}{1+y^2}$ 

jag noterar att dom sätter en etta framför arctan i båda fallen.