38 svar
186 visningar
be5612 är nöjd med hjälpen!
be5612 101
Postad: 10 apr 2019

dubbelintegral

Beräkna dubbelintegralen

I=Dsinx2+y2dxdy

där D är det området som bestäms av olikheterna 0<y<xochπ2<x2+y2<4π2.

jag har lite svårt med att D.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Om ja, lägg in bilden här. Om nej, rita och lägg in bilden här.

Har du en aning om hur området D ser ut?

Det blir 1/8 cirkelring.

be5612 101
Postad: 10 apr 2019
Smaragdalena skrev:

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Om ja, lägg in bilden här. Om nej, rita och lägg in bilden här.

Har du en aning om hur området D ser ut?

Det blir 1/8 cirkelring.

hur vet du att det är en cirkelring? 

Smaragdalena Online 24167 – Moderator
Postad: 10 apr 2019 Redigerad: 10 apr 2019

Jag ritade, förstås.

Det räcker med Ma3 för att man skall kunna rita upp området.

Albiki 3609
Postad: 10 apr 2019

Hej!

I rektangulära xy-koordinater har en cirkel med centrum (0,0)(0,0) och radie rr ekvationen x2+y2=r2.x^2+y^2=r^2. 

Olikheten x2+y2(2π)2x^2+y^2 \leq (2\pi)^2 uppfylls av alla punkter som ligger på cirkelskivan med centrum (0,0)(0,0) och radie 2π2\pi.

be5612 101
Postad: 10 apr 2019
Albiki skrev:

Hej!

I rektangulära xy-koordinater har en cirkel med centrum (0,0)(0,0) och radie rr ekvationen x2+y2=r2.x^2+y^2=r^2. 

Olikheten x2+y2(2π)2x^2+y^2 \leq (2\pi)^2 uppfylls av alla punkter som ligger på cirkelskivan med centrum (0,0)(0,0) och radie 2π2\pi.

Hej :)

om jag förstår rätt nu så πx2π

Egocarpo 438
Postad: 10 apr 2019 Redigerad: 10 apr 2019

Har du ritat en bild ännu? Det löser denna uppgiften rätt bra.

Edit: Eller det ger insikt i vilket område du vill integrera över. Detta måste man ta reda på först!

be5612 101
Postad: 10 apr 2019
Egocarpo skrev:

Har du ritat en bild ännu? Det löser denna uppgiften rätt bra.

Edit: Eller det ger insikt i vilket område du vill integrera över. Detta måste man ta reda på först!

be5612 skrev:
Egocarpo skrev:

Har du ritat en bild ännu? Det löser denna uppgiften rätt bra.

Edit: Eller det ger insikt i vilket område du vill integrera över. Detta måste man ta reda på först!

Bra start. Rita in villkoret π2<x2+y2\pi^2<x^2+y^2 också.

be5612 101
Postad: 10 apr 2019
Smaragdalena skrev:
be5612 skrev:
Egocarpo skrev:

Har du ritat en bild ännu? Det löser denna uppgiften rätt bra.

Edit: Eller det ger insikt i vilket område du vill integrera över. Detta måste man ta reda på först!

Bra start. Rita in villkoret π2<x2+y2\pi^2<x^2+y^2 också.

Ja. Markera området D!

Egocarpo 438
Postad: 11 apr 2019 Redigerad: 11 apr 2019

Snyggt! Nu blir det mycket lättare att hitta området D.

Edit: Kom ihåg att båda villkoren skall vara uppfyllda.

be5612 101
Postad: 11 apr 2019

pi<x<2pi men y då jag kan inte bestäma om 0<y<2 eller 0<y<4 eller någonting annat som jag inte ens kan se 

Egocarpo 438
Postad: 11 apr 2019 Redigerad: 11 apr 2019

Det där ser ut som område D bra!
Jag hade nog gått över till polära koordinater här.

 

Edit: Ser du vad vinkeln intervallet och radie intervallet blir?

be5612 101
Postad: 11 apr 2019
Egocarpo skrev:

Det där ser ut som område D bra!
Jag hade nog gått över till polära koordinater här.

 

Edit: Ser du vad vinkeln intervallet och radie intervallet blir?

jag förstod inte riktigt 

Egocarpo 438
Postad: 11 apr 2019

Har ni pratat om polära koordinater?

x=r*cos(θ) ,y=r*sin(θ).

be5612 101
Postad: 11 apr 2019
Egocarpo skrev:

Har ni pratat om polära koordinater?

x=r*cos(θ) ,y=r*sin(θ).

ja, det har vi. jag vet att man ska parametrisera så att det ska bli lättare att integrera men ska man inte ta reda på gränserna först?

Egocarpo 438
Postad: 11 apr 2019 Redigerad: 11 apr 2019

Om du tar gränserna du hade för x och y , sen byter du ut dem mot x=r*cos(θ) ,y=r*sin(θ). Och se vad du får, jag tror det blir fint. :)

 

Visa spoiler

Den första är 0 < y < x ==> 0 <r*sin(θ) < r*cos(θ) ==> 0 <sin(θ) < cos(θ)

be5612 101
Postad: 12 apr 2019
Egocarpo skrev:

Om du tar gränserna du hade för x och y , sen byter du ut dem mot x=r*cos(θ) ,y=r*sin(θ). Och se vad du får, jag tror det blir fint. :)

 

Visa spoiler

Den första är 0 < y < x ==> 0 <r*sin(θ) < r*cos(θ) ==> 0 <sin(θ) < cos(θ)

så du menar 0costπ2πsin 4cost+4sint? jag tror jag är helt ute o cyklar 

Egocarpo 438
Postad: 12 apr 2019 Redigerad: 12 apr 2019

Kan du få över det till en vinkel istället för cos(t). För vilken vinkel är sin(θ) = cos(θ)?  och hur ska vinkeln gå för cosinus ska bli större? 

Om du kollar på området D så ser du kanske vad vinkeln börjar på?

Vad blir x2+y2=??


be5612 101
Postad: 12 apr 2019
Egocarpo skrev:

Kan du få över det till en vinkel istället för cos(t). För vilken vinkel är sin(θ) = cos(θ)?  och hur ska vinkeln gå för cosinus ska bli större? 

Om du kollar på området D så ser du kanske vad vinkeln börjar på?

Vad blir x2+y2=??


pi/4

Egocarpo 438
Postad: 12 apr 2019

Yes det är slut vinkeln då x =y, vilken vinkel startar det med?

be5612 101
Postad: 12 apr 2019
Egocarpo skrev:

Yes det är slut vinkeln då x =y, vilken vinkel startar det med?

0π/4?

Egocarpo 438
Postad: 12 apr 2019

Yes så 0< θ < pi/4

och pi < r < 2*pi

Nu har vi gränserna!

Kvar att lösa är x2+y2=??

Sen en grej som händer när man går ifrån dxdy till drdθ?

be5612 101
Postad: 12 apr 2019
Egocarpo skrev:

Yes så 0< θ < pi/4

och pi < r < 2*pi

Nu har vi gränserna!

Kvar att lösa är x2+y2=??

Sen en grej som händer när man går ifrån dxdy till drdθ?

om x=r*cos t och y=r*sin t så blir x2+y2=4

Egocarpo 438
Postad: 12 apr 2019 Redigerad: 12 apr 2019
be5612 skrev:
Egocarpo skrev:

Yes så 0< θ < pi/4

och pi < r < 2*pi

Nu har vi gränserna!

Kvar att lösa är x2+y2=??

Sen en grej som händer när man går ifrån dxdy till drdθ?

om x=r*cos t och y=r*sin t så blir x2+y2=4

 Om du tar 4 * (pi)2 så är du på randen ja. Men om du löser det mer allmänt x2+y2 = (r*cos(t))2+(r*sin(t))2 =r2*cos(t)2+r2*sin(t)2=r2(cos(t)2+sin(t)2)=r2*1=r2

be5612 101
Postad: 13 apr 2019
Egocarpo skrev:
be5612 skrev:
Egocarpo skrev:

Yes så 0< θ < pi/4

och pi < r < 2*pi

Nu har vi gränserna!

Kvar att lösa är x2+y2=??

Sen en grej som händer när man går ifrån dxdy till drdθ?

om x=r*cos t och y=r*sin t så blir x2+y2=4

 Om du tar 4 * (pi)2 så är du på randen ja. Men om du löser det mer allmänt x2+y2 = (r*cos(t))2+(r*sin(t))2 =r2*cos(t)2+r2*sin(t)2=r2(cos(t)2+sin(t)2)=r2*1=r2

2pi?

AlvinB 2756
Postad: 13 apr 2019

Nja. Nu kom vi fram till att x2+y2=r2x^2+y^2=r^2.

Vad blir då sin(x2+y2)\sin(\sqrt{x^2+y^2})?

Kan du säga vad differentialen (det man skall byta dxdydxdy) mot blir när vi gör övergången till polära koordinater?

be5612 101
Postad: 13 apr 2019
AlvinB skrev:

Nja. Nu kom vi fram till att x2+y2=r2x^2+y^2=r^2.

Vad blir då sin(x2+y2)\sin(\sqrt{x^2+y^2})?

Kan du säga vad differentialen (det man skall byta dxdydxdy) mot blir när vi gör övergången till polära koordinater?

jag förstår inte men det mab byter dxdymot blir drdθ och när man byter sin(x2+y2)till polära koordinater sin(2)

Egocarpo 438
Postad: 13 apr 2019 Redigerad: 13 apr 2019

När du går ifrån (x,y) till (r,θ) Måste du fortfarande kunna peka på alla punkterna i området då.

Edit tänk x2+y2 i området D är inte alltid 2, prova! Men det är alltid r2

AlvinB 2756
Postad: 13 apr 2019 Redigerad: 13 apr 2019

Jag förstår inte riktigt varför du envisas med att byta ut x2+y2x^2+y^2 mot någon konstant. På vårt område kommer rr att ha olika värden (alla värden mellan π\pi och 2π2\pi), därför får vi inte byta ut rr mot en konstant.

Vad jag menar är att eftersom vi vet att x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 kan vi byta ut:

sin(x2+y2)\sin(\sqrt{x^2+y^2})

mot

sin(r2)=sinr\sin(\sqrt{r^2})=\sin\left(r\right)

Är du med på det?

Jag vet inte om det var det du försökte skriva, men när vi byter från kartesiska till polära koordinater får vi en extra faktor rr i differentialen, d.v.s. dxdy=r drdθdxdy=r\ drd\theta

be5612 101
Postad: 13 apr 2019
AlvinB skrev:

Jag förstår inte riktigt varför du envisas med att byta ut x2+y2x^2+y^2 mot någon konstant. På vårt område kommer rr att ha olika värden (alla värden mellan π\pi och 2π2\pi), därför får vi inte byta ut rr mot en konstant.

Vad jag menar är att eftersom vi vet att x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 kan vi byta ut:

sin(x2+y2)\sin(\sqrt{x^2+y^2})

mot

sin(r2)=sinr\sin(\sqrt{r^2})=\sin\left(r\right)

Är du med på det?

Jag vet inte om det var det du försökte skriva, men när vi byter från kartesiska till polära koordinater får vi en extra faktor rr i differentialen, d.v.s. dxdy=r drdθdxdy=r\ drd\theta

jag har kollat på flera exempel i boken där de har gjort så därför trodde jag man ska alltid göra så.

be5612 101
Postad: 13 apr 2019

men blir det då π2π0π/4sin (r) r drdθ?

Egocarpo 438
Postad: 13 apr 2019

Om du bara skulle kollat på randen så är det kanske vettigt att byta ut x2+y2 mot en konstant. Men nu ska vi integrera i flera dimensioner då blir det jättefel om man gör så.

Egocarpo 438
Postad: 13 apr 2019
be5612 skrev:

men blir det då π2π0π/4sin (r) r drdθ?

Ser bra ut! 

be5612 101
Postad: 13 apr 2019
Egocarpo skrev:
be5612 skrev:

men blir det då π2π0π/4sin (r) r drdθ?

Ser bra ut! 

är det bara att integrera nu? eller är det något annat som jag behöver göra innan

Egocarpo 438
Postad: 13 apr 2019 Redigerad: 13 apr 2019

Bara ös på.  θ integraler är ju väldigt enkel. :)

En sak du måste hålla på till vilken differential de olika intervallen tillhör!

be5612 101
Postad: 13 apr 2019
Egocarpo skrev:

Bara ös på.  θ integraler är ju väldigt enkel. :)

En sak du måste hålla på till vilken differential de olika intervallen tillhör!

π2πr0π/4sin (r)

Egocarpo 438
Postad: 13 apr 2019

Du måste ha med diffrentialerna och alla som beror på r ska ju integreras med dr. Allt som beror på θ (I detta fallet bara en 1:a) ska integreras med dθ. 

allt som beror på r på ett ställe och allt som beror på θ i den andra integralen. pi2*pir*sin(r) dr*0pi/41dθ

Svara Avbryt
Close