Dubbelintegral

Den högra integralen har en underförstådd etta:

$\displaystyle \int_0^{\pi/4}1\cdot d\theta$

Så vad är en primitiv funktion till 1?

Den första integralen är klurigare, men där ser det ut som att en partialintegration skulle hjälpa. 

För integralen $\int_0^{\pi/4} d\theta$ så integrerar du över 1. Termen $d\theta$ indikerar samma som $dx$ och är en del av integraluttrycket. Det är alltså samma sak som att det står $\int_0^{\pi/4} 1 d\theta$ och du behöver hitta en primitiv till 1.

För den andra integralen så tror jag att du skrivit lite fel det borde vara ett $dr$ med här också. Ska det stå $\int_{\pi}^{2\pi} \sin(r) dr$?

Ja tack för informationen, det ska givetvis stå rsin(r)dr.

En primitiv funktion till 1 bör vara x, innebär det då att min primitiva funktion till 1dθ blir x även den? 

Jag beräknade även den andra integralen med hjälp av partialintegration och får denna till -3pi, kan detta verkligen stämma? Kan dubbelintegralen bli negativ?

Nja. $\int\limits_{0}^{\pi /4}d\theta=[\theta]_{0}^{\pi /4}$.

F ö verkar du ha rätt värde på r-integralen.

Ja, i princip. En primitiv till $\int dx$ är $x$ men till $\int d\theta$ så är den ju $\theta$.

Dubbelintegralen kan alldeles säkert bli negativ. Det är ju en volym, men i och med att vi har negativa tal i koordinatsystemet så kan vi ha negativ volym.

lund skrev:

En primitiv funktion till 1 bör vara x, innebär det då att min primitiva funktion till 1dθ blir x även den? 

dθ innebär att din integrationsvariabel är θ. En primitiv till 1 blir därför θ, inte x. Men det är ju mest en estetisk skillnad, själva integralen och svaret blir precis som om du räknat på integralen

$\displaystyle \int_0^{\pi/4} dx$.

Jag beräknade även den andra integralen med hjälp av partialintegration och får denna till -3pi, kan detta verkligen stämma? Kan dubbelintegralen bli negativ?

Integranden är ju ett sinusvärde, så din integral är i någon mening en summa av sinusvärden. Om dessa kan vara negativa (och det kan de ju i allmänhet, men kanske inte över just ditt integrationsområde) kan även integralen bli negativ.

Stort tack, då har jag lärt mig att man ska använda θ i detta läge.

Jag har nu även löst dubbelintegralen och kommit fram till det slutgiltiga svaret:

Stort tack för eran hjälp!